Podręcznik: Gęstość energii i gęstość mocy

3. Transformata Fouriera (repetytorium)

3.7. Gęstość energii i gęstość mocy

Kwadrat widma amplitudowego ${|X\left(f\right)|}^2$ nazywamy gęstością energii. Całkując gęstość energii otrzymujemy energię sygnału:

$E=\int_{-\infty}^{\infty}{x^2(t)dt}=\int_{-\infty}^{\infty}{|X(f)|^2df}$

(28)

Jest to twierdzenie Parsevala. Dowód opiera się na spostrzeżeniu, że funkcja autokorelacji przy zerowym przesunięciu jest równa energii sygnału:

$R_x(0)=\int_{-\infty}^{\infty}{x^2(t)dt}=E$

Z drugiej strony, z twierdzenia Wienera-Chinczina wynika że

$R_x(\tau)=F^{-1}[X(f)X^\ast(f)]=\int_{-\infty}^{\infty}X(f)X*(f)e^{j2πfτ}df$

Podstawiając zerowe przesunięcie $\tau=0$ , otrzymuje się energię wyrażoną wzorem

$R_x(0)=\int_{-\infty}^{\infty}{X(f)X^\ast(f)e^{j2\pi f0}df}=\int_{-\infty}^{\infty}{X(f)X^\ast(f)df}=\int_{-\infty}^{\infty}{|X(f)|^2df}=E$

Dla sygnałów o nieskończonej energii lecz skończonej mocy posługujemy się gęstością mocy. Nieskończona energia wynika najczęściej z nieskończonego czasu trwania sygnału. W oknie o czasie trwania T mamy skończoną energię sygnału $m(t) E_T=\int_{-T/2}^{T/2}{m^2(t)dt}$ i możemy obliczyć średnią moc dzieląc energię przez T. Po przejściu do nieskończoności otrzymujemy średnią moc całego sygnału: $P=\lim\limits _{T\rightarrow \infty }\frac{1}{T} E_{T}$ .
Zgodnie z twierdzeniem Parsevala energię w oknie możemy obliczyć z gęstości energii:

$E_T=\int_{-T/2}^{T/2}{m^2(t)dt}=\int_{-\infty}^{\infty}{|M_T(f)|^2df}$

gdzie $M_T(f)=\int_{-T/2}^{T/2}{m(t)e^{-j2\pi ft}dt}$ . Moc średnia w oknie wyraża się wówczas wzorem

$P_T=\frac{E_T}{T}=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}{m^2(t)dt}=\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{T}|M_T(f)|^2df}$

Gdy T dąży do nieskończoności, wówczas PT staje się średnią mocą sygnału, otrzymaną przez całkowanie gęstości mocy:

$G_m(f)=\lim\limits _{T\rightarrow \infty }\frac{1}{T}|M_T(f)|^2$

(29)

$P=\int_{-\infty}^{\infty}{G_m(f)df=}\lim\limits _{T\rightarrow \infty }\ \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{I/2}{m^2(t)dt}$

(30)