Kwadrat widma amplitudowego \({|X\left(f\right)|}^2\) nazywamy gęstością energii. Całkując gęstość energii otrzymujemy energię sygnału:
| \(E=\int_{-\infty}^{\infty}{x^2(t)dt}=\int_{-\infty}^{\infty}{|X(f)|^2df}\) |
(28) |
Jest to twierdzenie Parsevala. Dowód opiera się na spostrzeżeniu, że funkcja autokorelacji przy zerowym przesunięciu jest równa energii sygnału:
| \(R_x(0)=\int_{-\infty}^{\infty}{x^2(t)dt}=E\) |
|
Z drugiej strony, z twierdzenia Wienera-Chinczina wynika że
| \( R_x(\tau)=F^{-1}[X(f)X^\ast(f)]=\int_{-\infty}^{\infty}X(f)X*(f)e^{j2πfτ}df\) |
|
Podstawiając zerowe przesunięcie \(\tau=0\), otrzymuje się energię wyrażoną wzorem
| \(R_x(0)=\int_{-\infty}^{\infty}{X(f)X^\ast(f)e^{j2\pi f0}df}=\int_{-\infty}^{\infty}{X(f)X^\ast(f)df}=\int_{-\infty}^{\infty}{|X(f)|^2df}=E\) |
|
Dla sygnałów o nieskończonej energii lecz skończonej mocy posługujemy się gęstością mocy. Nieskończona energia wynika najczęściej z nieskończonego czasu trwania sygnału. W oknie o czasie trwania T mamy skończoną energię sygnału \(m(t) E_T=\int_{-T/2}^{T/2}{m^2(t)dt}\) i możemy obliczyć średnią moc dzieląc energię przez T. Po przejściu do nieskończoności otrzymujemy średnią moc całego sygnału: \(P=\lim\limits _{T\rightarrow \infty }\frac{1}{T} E_{T}\).
Zgodnie z twierdzeniem Parsevala energię w oknie możemy obliczyć z gęstości energii:
| \(E_T=\int_{-T/2}^{T/2}{m^2(t)dt}=\int_{-\infty}^{\infty}{|M_T(f)|^2df}\) |
|
gdzie \(M_T(f)=\int_{-T/2}^{T/2}{m(t)e^{-j2\pi ft}dt}\). Moc średnia w oknie wyraża się wówczas wzorem
| \(P_T=\frac{E_T}{T}=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}{m^2(t)dt}=\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{T}|M_T(f)|^2df}\) |
|
Gdy T dąży do nieskończoności, wówczas PT staje się średnią mocą sygnału, otrzymaną przez całkowanie gęstości mocy:
| \(G_m(f)=\lim\limits _{T\rightarrow \infty }\frac{1}{T}|M_T(f)|^2\) |
(29) |
| \(P=\int_{-\infty}^{\infty}{G_m(f)df=}\lim\limits _{T\rightarrow \infty }\ \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{I/2}{m^2(t)dt}\) |
(30) |
