Podręcznik

Układy liniowe o parametrach niezmiennych w czasie są opisane splotem (wzór 10): $y(t)=x(t)\ast h(t), gdzie h(t)$ – odpowiedz impulsowa układu. Ze wzoru (24) wynika, że widmo sygnału wyjściowego jest iloczynem widma sygnału wejściowego i transformaty Fouriera odpowiedzi impulsowej:

Funkcja $H(f)$ jest nazywana charakterystyką częstotliwościową układu.
Równanie (38) można przepisać w taki sposób, aby odnosiło się ono do widm amplitudy, gęstości energii i gęstości mocy. 

Jeśli na wejście układu (filtru) podamy sygnał harmoniczny o częstotliwości $f_0$, np. $x(t)=Acos{(}2\pi f_0t+\phi)$ wówczas na wyjściu pojawi się sygnał harmoniczny o tej samej częstotliwości. Na jego amplitudę i fazę będzie miała wpływ wartość charakterystyki częstotliwościowej układu dla częstotliwości $f_0$. (pomijamy tu stany przejściowe, wszak sygnał harmoniczny rozciąga się w nieskończoność na osi czasu). Amplituda zostanie pomnożona przez $|H(f_0)|$ a faza przesunięta o $arg(H(f0))$. Na wyjściu układu otrzymamy sygnał: 

Amplitudę i fazę początkową sygnału wejściowego można zapisać jako liczbę zespoloną $Ae^{j\phi}$ (tzw. amplituda zespolona). Po przejściu przez filtr zostanie ona pomnożona przez $H(f_0)=|H(f_0)|e^{jarg{(}H(f_0))}=|H(f_0)|e^{j\mathrm{\Psi}(f_0)}$. Amplitudę zespoloną i przebieg czasowy sygnału wyjściowego filtru pokazano na Rys. 20.

Rysunek 20 Metoda amplitud zespolonych

Obecnie proces filtracji przeprowadza się głównie w czasie dyskretnym, przetwarzając ciągi wartości chwilowych (próbek) sygnału. Z tego względu przedstawiono tu filtrację w czasie ciągłym w sposób uproszczony i w skrócie. Filtracja w czasie ciągłym jest jednak niezbędna do ograniczenia pasma sygnału przed procesem próbkowania i do przetworzenia szeregu próbek na sygnał ciągły.