4. Próbkowanie

4.1. Próbkowanie idealne

Sygnały mowy, muzyki, obrazy ruchome i nieruchome przetwarzamy w urządzeniach cyfrowych jako ciągi liczb (próbek, pikseli). W szczególności sygnały akustyczne, będące funkcjami czasu ciągłego, są przetwarzanie na ciągi wartości chwilowych (próbek).  Pomiary wartości chwilowych odbywają się co T (sekund, milisekund, mikrosekund). T nazywamy okresem próbkowania, a \(f_s={1}/{T}\)  jest częstotliwością próbkowania (sampling rate, sampling frequency). Próbki opisujemy matematycznie jako impulsy Diraca pomnożone przez wartość chwilową sygnału akustycznego w momencie wystąpienia impulsu (Rys. 21).

Rysunek 21 Próbkowanie idealne sygnału x(t)

Sygnał x(t) jest więc pomnożony przez periodyczny ciąg impulsów Diraca (tzw. dystrybucję grzebieniową):

\(x_s(t)=x(t)\cdot\sum_{n}{\delta(t-nT)}=\sum_{n}{x(nT)\delta(t-nT)}=\sum_{n}{x_n\delta(t-nT)}\) (43)

Widmo (transformata Fouriera) takiego ciągu próbek jest sumą widm przesuniętych impulsów Diraca pomnożonych przez wartość próbki xn.  Widmo impulsu Diraca występującego w chwili \(t=0\) jest równe 1 (wzór 33), a występującego w chwili \(t=nT\)  wynosi \(e^{-j2\pi fnT}\) (wzór 34). Stąd widmo ciągu próbek wynosi

\(X_s(f)=F[x_s(t)]=\sum_{n}x_{n}e^{-j2πfnT}\) (44)

Funkcja  \(e^{-j2\pi fnT}\) jest okresową funkcją częstotliwości \(f\), jej okres wynosi \({\frac{1}{nT}}\) .  Wspólnym okresem dla wszystkich funkcji występujących we wzorze (44) jest \({\frac{1}{T}=f_s}\). Tak więc widmo ciągu próbek jest okresową funkcją częstotliwości powtarzającą się co częstotliwość próbkowania. 
Ze względu na podobieństwo wzorów definiujących prostą i odwrotną transformatę Fouriera (wzory 12 i 14; mówimy o dualizmie czasowo-częstotliwościowym), podobnej właściwości należy się spodziewać po odwrotnej transformacie Fouriera. Jeśli widmo ma charakter „prążkowy” (jest ciągiem impulsów Diraca – wzór 45), to sygnał w dziedzinie czasu jest okresowy  (wzór 46).

\(X(f)=\sum_{n}X_nδ(f-n/T)\) (45)
\(x(t)=F^{-1}[X(f)]=\sum_{n}X_nF^{-1}[δ(f-n/T)]=\sum_{n}X_{n}e^{j2π\frac{n}{T}}t\) (46)

Prążki widma występują co \({\frac{1}{T}=f_s}\), a okres sygnału x(t) wynosi T. Potwierdza to obserwację przedstawioną na Rys.19. 
Periodyczny ciąg impulsów Diraca, używany do opisu próbkowania idealnego, powinien mieć widmo dyskretne („prążkowe”), gdyż jest sygnałem okresowym, a także okresowe, gdyż jest sygnałem próbek, impulsów Diraca. Innymi słowy, jego widmo też jest periodycznym ciągiem impulsów Diraca, co pokazano na Rys.22.  i opisano we wzorze (47). 

Rysunek 22 Sygnał próbkujący i jego widmo

\(F\left\{\sum_{n}{\delta(t-nT)}\right\}=\frac{1}{T}\sum_{n}{\delta(f-\frac{n}{T})}\) (47)

Próbkowanie idealne polega na mnożeniu sygnału ciągłego \(x(t)\) przez sygnał próbkujący pokazany na rys.22 (patrz wzór 43). Mnożenie w dziedzinie czasu odpowiada splataniu w dziedzinie częstotliwości (wzór 26). Splot funkcji \(X(f)\) z impulsem Diraca oznacza przesunięcie tej funkcji na pozycję wyznaczoną przez ten impuls (wzór 32 opisuje to w dziedzinie czasu, identycznie działa to w dziedzinie częstotliwości). W efekcie widmo \(X(f)\) zostaje przemieszczone na pozycje \({n}/{T}=nf_s\):

\(X_s(f)=F[x(t)⋅\sum_{n}δ(t-nT)]=X(f)*\frac{1}{T}\sum_{n}δ(f-\frac{n}{T})=\frac{1}{T}\sum_nX(f-\frac{n}{T})\) (48)

Tak więc widmo sygnału spróbkowanego zawiera nieskończoną liczbę kopii widma sygnału ciągłego, przesuniętych względem siebie o częstotliwość próbkowania (rys. 23).

Rysunek 23 Widmo sygnału spróbkowanego

Widmo sygnału próbek zawiera w sobie pełną informację o widmie sygnału ciągłego, w postaci kopii widmowej posadowionej na częstotliwości \(f=0\). Sygnał ciągły można odzyskać, wydobywając z widma sygnału próbek tę nieprzesuniętą kopię widmową. Można posłużyć się filtrem dolnoprzepustowym o częstotliwości granicznej równej połowie częstotliwości próbkowania. 

Rysunek 24 Odzyskiwanie sygnału ciągłego z próbek

Proces ten będzie udany, jeśli kopie widmowe nie będą się pokrywały. Aby spełnić ten warunek, częstotliwość próbkowania \(f_s={\frac{1}{T}}\) musi być co najmniej 2 razy większa od pasma sygnału ciągłego \((f_M)\). Jest to treść Twierdzenia o Próbkowaniu (Shannon, Nyquist, Kotelnikow):

Gdy \(f_m<1/(2T)\), czyli częstotliwość próbkowania \((1/T)\) jest co najmniej 2 razy większa od pasma sygnału \((f_m)\), wówczas sygnał ciągły można odzyskać z sygnału próbek metodą filtracji

 Jeśli częstotliwość próbkowania jest zbyt niska, wówczas kopie widmowe pokrywają się i nie ma możliwości odtworzenia sygnału ciągłego z sygnału próbek (rys.25).

Rysunek 25 Widmo sygnału spróbkowanego przy zbyt niskiej częstotliwości próbkowania

Sygnał ciągły \(x(t)\) jest odtwarzany z próbek metodą filtracji. Na rys.26 pokazano odpowiedź impulsową \(h(t)\) idealnego filtru dolnopasmowego o częstotliwości granicznej \({f_s}/{2}=\frac{1}{2T}\) (patrz 8.1, zad.4).

Rysunek 26 Odpowiedź impulsowa idealnego filtru dolnopasmowego o częstotliwości granicznej 1/(2T)

Na pobudzenie pojedynczą próbką (impulsem Diraca pomnożonym przez wartość chwilową sygnału ciągłego) filtr reaguje przesuniętym sygnałem proporcjonalnym do \(h(t)\). W rezultacie sygnał ciągły jest odtwarzany jako suma przesuniętych sygnałów o kształcie pokazanym na rys.26. Funkcja \(sin(x)/x\) zwana jest zresztą funkcją próbkującą. Proces odtwarzania sygnału ciągłego pokazano na rys.27.

Rysunek 27 Odtwarzanie sygnału ciągłego z próbek