Podręcznik

Sygnały mowy, muzyki, obrazy ruchome i nieruchome przetwarzamy w urządzeniach cyfrowych jako ciągi liczb (próbek, pikseli). W szczególności sygnały akustyczne, będące funkcjami czasu ciągłego, są przetwarzanie na ciągi wartości chwilowych (próbek).  Pomiary wartości chwilowych odbywają się co T (sekund, milisekund, mikrosekund). T nazywamy okresem próbkowania, a $f_s={1}/{T}$  jest częstotliwością próbkowania (sampling rate, sampling frequency). Próbki opisujemy matematycznie jako impulsy Diraca pomnożone przez wartość chwilową sygnału akustycznego w momencie wystąpienia impulsu (Rys. 21).

Rysunek 21 Próbkowanie idealne sygnału x(t)

Sygnał x(t) jest więc pomnożony przez periodyczny ciąg impulsów Diraca (tzw. dystrybucję grzebieniową):

Widmo (transformata Fouriera) takiego ciągu próbek jest sumą widm przesuniętych impulsów Diraca pomnożonych przez wartość próbki xn.  Widmo impulsu Diraca występującego w chwili $t=0$ jest równe 1 (wzór 33), a występującego w chwili $t=nT$  wynosi $e^{-j2\pi fnT}$ (wzór 34). Stąd widmo ciągu próbek wynosi

Funkcja  $e^{-j2\pi fnT}$ jest okresową funkcją częstotliwości $f$, jej okres wynosi ${\frac{1}{nT}}$ .  Wspólnym okresem dla wszystkich funkcji występujących we wzorze (44) jest ${\frac{1}{T}=f_s}$. Tak więc widmo ciągu próbek jest okresową funkcją częstotliwości powtarzającą się co częstotliwość próbkowania. 
Ze względu na podobieństwo wzorów definiujących prostą i odwrotną transformatę Fouriera (wzory 12 i 14; mówimy o dualizmie czasowo-częstotliwościowym), podobnej właściwości należy się spodziewać po odwrotnej transformacie Fouriera. Jeśli widmo ma charakter „prążkowy” (jest ciągiem impulsów Diraca – wzór 45), to sygnał w dziedzinie czasu jest okresowy  (wzór 46).

Prążki widma występują co ${\frac{1}{T}=f_s}$, a okres sygnału x(t) wynosi T. Potwierdza to obserwację przedstawioną na Rys.19. 
Periodyczny ciąg impulsów Diraca, używany do opisu próbkowania idealnego, powinien mieć widmo dyskretne („prążkowe”), gdyż jest sygnałem okresowym, a także okresowe, gdyż jest sygnałem próbek, impulsów Diraca. Innymi słowy, jego widmo też jest periodycznym ciągiem impulsów Diraca, co pokazano na Rys.22.  i opisano we wzorze (47). 

Rysunek 22 Sygnał próbkujący i jego widmo

Próbkowanie idealne polega na mnożeniu sygnału ciągłego $x(t)$ przez sygnał próbkujący pokazany na rys.22 (patrz wzór 43). Mnożenie w dziedzinie czasu odpowiada splataniu w dziedzinie częstotliwości (wzór 26). Splot funkcji $X(f)$ z impulsem Diraca oznacza przesunięcie tej funkcji na pozycję wyznaczoną przez ten impuls (wzór 32 opisuje to w dziedzinie czasu, identycznie działa to w dziedzinie częstotliwości). W efekcie widmo $X(f)$ zostaje przemieszczone na pozycje ${n}/{T}=nf_s$:

Tak więc widmo sygnału spróbkowanego zawiera nieskończoną liczbę kopii widma sygnału ciągłego, przesuniętych względem siebie o częstotliwość próbkowania (rys. 23).

Rysunek 23 Widmo sygnału spróbkowanego

Widmo sygnału próbek zawiera w sobie pełną informację o widmie sygnału ciągłego, w postaci kopii widmowej posadowionej na częstotliwości $f=0$. Sygnał ciągły można odzyskać, wydobywając z widma sygnału próbek tę nieprzesuniętą kopię widmową. Można posłużyć się filtrem dolnoprzepustowym o częstotliwości granicznej równej połowie częstotliwości próbkowania. 

Rysunek 24 Odzyskiwanie sygnału ciągłego z próbek

Proces ten będzie udany, jeśli kopie widmowe nie będą się pokrywały. Aby spełnić ten warunek, częstotliwość próbkowania $f_s={\frac{1}{T}}$ musi być co najmniej 2 razy większa od pasma sygnału ciągłego $(f_M)$. Jest to treść Twierdzenia o Próbkowaniu (Shannon, Nyquist, Kotelnikow):

 Jeśli częstotliwość próbkowania jest zbyt niska, wówczas kopie widmowe pokrywają się i nie ma możliwości odtworzenia sygnału ciągłego z sygnału próbek (rys.25).

Rysunek 25 Widmo sygnału spróbkowanego przy zbyt niskiej częstotliwości próbkowania

Sygnał ciągły $x(t)$ jest odtwarzany z próbek metodą filtracji. Na rys.26 pokazano odpowiedź impulsową $h(t)$ idealnego filtru dolnopasmowego o częstotliwości granicznej ${f_s}/{2}=\frac{1}{2T}$ (patrz 8.1, zad.4).

Rysunek 26 Odpowiedź impulsowa idealnego filtru dolnopasmowego o częstotliwości granicznej 1/(2T)

Na pobudzenie pojedynczą próbką (impulsem Diraca pomnożonym przez wartość chwilową sygnału ciągłego) filtr reaguje przesuniętym sygnałem proporcjonalnym do $h(t)$. W rezultacie sygnał ciągły jest odtwarzany jako suma przesuniętych sygnałów o kształcie pokazanym na rys.26. Funkcja $sin(x)/x$ zwana jest zresztą funkcją próbkującą. Proces odtwarzania sygnału ciągłego pokazano na rys.27.

Rysunek 27 Odtwarzanie sygnału ciągłego z próbek