Podręcznik: Transformaty DTFT i DFT

5. Analiza widmowa sygnałów dyskretnych

5.1. Transformaty DTFT i DFT

Jak wspomniano w p.3.1, analiza widmowa polega na wyszukiwaniu w sygnale składowych o różnych częstotliwościach. Podstawowym narzędziem analizy widmowej jest transformata Fouriera (wzór 12). Aby wykorzystać algorytmy cyfrowego przetwarzania sygnałów, przeprowadza się operację próbkowania. Transformata Fouriera sygnału próbek opisana jest wzorami (44), (48), patrz też rys.23 i 25. Ze względu na próbkowanie czas przyjmuje tu wartości dyskretne, natomiast częstotliwość jest zmienną ciągłą. Transformata Fouriera sygnału próbek oznaczana jest symbolem DTFT (Discrete Time Fourier Transform).

Jeśli czas trwania sygnału jest nieograniczony, wówczas do obliczenia DTFT należałoby użyć nieskończonej liczby próbek. Obliczenie DTFT ze wzoru (44) nie byłoby wówczas możliwe, z tego względu liczbę próbek ogranicza się do pewnej wartości L. Oznacza to, że analizowany sygnał mnoży się przez okno o czasie trwania LT sekund (T jest okresem próbkowania) – rys. 34.

Rysunek 34 L próbek sygnału w dziedzinie czasu

Obliczenie DTFT nie nastręcza wówczas trudności:

$X_s(f)=\sum_{n=0}^{L-1}x_ne^{-j2\pi fn\ T}$

(51)

Należy tu przypomnieć, że $X_s(f)$ jest okresową funkcją $f$ i powtarza się co częstotliwość próbkowania ${\frac{1}{T}=f_s}$ (rys.23, rys.25). W szczególności oznacza to, że wartości widma DTFT na częstotliwości $(-f)$ i $\frac{1}{T}-f$ są równe. Ponieważ ${X_s\left(-f\right)=X_s}^\ast\left(f\right)$ , co wynika ze wzoru definicyjnego transformaty Fouriera (12), to wartości widma DTFT na częstotliwościach $f$ i $\frac{1}{T}-f$ są parą liczb sprzężonych (gwiazdka oznacza sprzężenie). Ten efekt „lustrzanego odbicia” potwierdza wynik podstawienia częstotliwości $\frac{1}{T}-f$ do wzoru (44):

$X_s(\frac{1}{T}-f)=\sum_{n=0}^{L-1}x_ne^{-j2\pi(\frac{1}{T}-f)nT}=\sum_{n=0}^{L-1}x_ne^{-j2\pi n}e^{j2πfnT}=\sum_{n=0}^{L-1}x_ne^{j2πfnT}=Xs*(f)$

(52)

Wartość DTFT można obliczyć dla każdej częstotliwości $f$ . W komputerowej analizie widmowej należy wybrać skończoną liczbę wartości $f$ , dokonując w ten sposób próbkowania widma DTFT. Spróbkujemy je w przedziale częstotliwości od 0 do częstotliwości próbkowania $f_s={\frac{1}{T}}$ , pobierając L próbek na częstotliwościach $f_k=\frac{k}{TL},\ \ k=0,1,…,L- 1$ .

Otrzymamy L wartości

$X_k=\sum_{n=0}^{L-1}x_ne^{-j2πfknT}=\sum_{n=0}^{L-1}x_ne^{-j2π\frac{k}{TL}nT}=\sum_{n=0}^{L-1}x_ne^{{-j2π}\frac{kn}{L}}, k=0,...,L-1$

(53)

Podstawiając $W_L=e^{-j\frac{2\pi}{L}}$ otrzymamy L wyrażeń liniowych:

$X_k=\sum_{n=0}^{L-1}x_nW_L^{kn},\qquad k=0,1,\cdots,L-1$

(54)

które można przepisać w postaci macierzowej: $\overline{X}=\overline{W}\overline{x}$ :

$\left[\begin{matrix}X_0\\X_1\\\vdots\\X_{L-1}\\\end{matrix}\right]\ =\ \left[\begin{matrix}W_L^{0\cdot0}&W_L^{0\cdot1}&\cdots&W_L^{0\cdot(L-1)}\\W_L^{1\cdot0}&W_L^{1\cdot1}&\cdots&W_L^{1\cdot(L-1)}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\W_L^{(L-1)\cdot0}&W_L^{(L-1)\cdot1}&\cdots&W_L^{(L-1)\cdot(L-1)}\\\end{matrix}\right]\ \left[\begin{matrix}x_0\\x_1\\\vdots\\x_{L-1}\\\end{matrix}\right]$

(55)

Zapisaliśmy w ten sposób wzór na Dyskretną Transformatę Fouriera (DFT). Macierz transformaty DFT $(\overline{W})$ jest zespolona, symetryczna $(W_L^{kn}=W_L^{nk})$ i nieosobliwa. Można pokazać, że $\frac{1}{L}\overline{W}{\overline{W}}^\ast=I$ (gwiazdka oznacza sprzężenie). Macierz odwrotna jest równa

${\overline{W}}^{-1}=\frac{1}{L}{\overline{W}}^\ast$

(56)

Odwrotna Dyskretna Transformata Fouriera (IDFT) opisana jest zatem wzorem

$\overline{x}={\overline{W}}^{-1}\ \overline{X}=\frac{1}{L}{\overline{W}}^\ast\ \overline{X}$

(57)

K-ty wiersz transformaty DFT zawiera elementy $e^{-j\frac{2\pi}{L}kn}=cos{(}\frac{2\pi}{L}kn)-jsin{(}\frac{2\pi}{L}kn)$ , czyli próbki sygnału harmonicznego o częstotliwości $f_k=\frac{k}{TL}$ . W k-tym wierszu (numerujemy je od zera) zapisana jest k-ta funkcja bazowa transformaty DFT zawierająca k okresów sygnału harmonicznego. Ze względu na zjawisko „lustrzanego odbicia” (wzór 52) odpowiednie elementy wierszy numer k i L-k są ze sobą sprzężone.
Współczynniki widma DFT są korelacjami analizowanego sygnału z funkcjami bazowymi (wzór 54). K-ty współczynnik powstaje przez pomnożenie k-go wiersza macierzy transformaty przez wektor - kolumnę próbek analizowanego sygnału (rys.35).
Z kolei odwrotna Dyskretna Transformata Fouriera (IDFT) odtwarza wektor próbek analizowanego sygnału w postaci kombinacji liniowej sprzężonych funkcji bazowych (57).

Rysunek 35 Obliczanie DFT 8 próbek sygnału - pokazano tylko część rzeczywistą macierzy transformaty

W literaturze spotyka się określenie “szybka transformata Fouriera” (Fast Fourier Transform - FFT). FFT jest szybkim algorytmem obliczania DFT. Wykonywanie mnożenia macierzy przez wektor (wzór 55) wymaga L2 operacji mnożenia i akumulacji. James Cooley i John Tukey zauważyli w 1965 roku, że te same operacje wykonywane są wielokrotnie. Wykonując je jednorazowo, można ograniczyć ich liczbę do L log2(L).
Na rys. 36 pokazano 256 próbek sygnału audio i wartość bezwzględną DFT – 256 próbek widma w zakresie od 0 do częstotliwości próbkowania (44100 Hz).

Rysunek 36 Sygnał audio liczący 256 próbek i wartość bezwzględna DFT (częstotliwość próbkowania 44100 Hz)