Podręcznik

W zasadzie każda nieosobliwa macierz  \(\overline{W}\) mogłaby być wykorzystana jako transformata, jednak do analizy widmowej przydatne są transformaty, których funkcje bazowe (wiersze macierzy) są sygnałami wąskopasmowymi o różnych częstotliwościach.  DFT jest oparta na spróbkowanych sygnałach \(e^{-j\frac{2\pi}{L}kn}=cos{(}\frac{2\pi}{L}kn)-j\ sin{(}\frac{2\pi}{L}kn)\), natomiast Dyskretna Transformata Kosinusoidalna (Discrete Cosine Transform – DCT) – na spróbkowanych funkcjach cosinus. K-ty wiersz macierzy tej transformaty jest opisany wzorem (58):

Częstotliwości spróbkowanych sygnałów kosinusoidalnych narastają od 0 Hz do niemal połowy częstotliwości próbkowania.  Oznacza to, że analiza widmowa z wykorzystaniem DCT odnosi się do zakresu częstotliwości od 0 do \(\frac{f_s}{2}\). 
Do obliczenia DCT wg wzoru \(\overline{X}=\overline{W}\overline{x}\) można również zastosować szybki algorytm, jak w przypadku DFT. Ze względu na ortogonalność wierszy macierzy DCT spełnione jest równanie  \(\overline{X}^t=\overline{W}=I\) , gdzie \(t\) oznacza transpozycję, a \(I\) – macierz jednostkową. Oznacza to, że macierz transponowana jest jednocześnie macierzą odwrotną  \(\overline{W}^{-1}=\overline{W}^{t}\), którą można wykorzystać jako macierz odwrotnej transformacji cosinusoidalnej (IDCT):

Na rys.37 pokazano proces obliczania DCT dla 8 próbek sygnału. Macierz transformaty DCT jest rzeczywista, a więc współczynniki transformaty \(X_0,X_1,\ldots,X_{L-1}\) są liczbami rzeczywistymi. Na rys. 38 pokazano 256 próbek widma DCT sygnału przedstawionego na rys. 36. Współczynniki transformaty odnoszą się do zakresu częstotliwości od 0 do połowy częstotliwości próbkowania (22050 Hz). 
W Tabeli 1 porównano właściwości transformat DFT i DCT. Na uwagę zasługuje sposób przechowania informacji o fazie sygnału we współczynnikach transformaty. W DCT faza wpływa na relację pomiędzy częścią rzeczywistą i urojona współczynników, nie wpływa natomiast na ich wartość bezwzględną. W DCT informacja o fazie jest przechowywana w rzeczywistych wartościach współczynników transformaty, stąd widma DCT  sygnału sinusoidalnego i kosinusoidalnego są różne. 

Rysunek 37 Obliczanie DCT 8 próbek sygnału

Rysunek 38 Transformata DCT sygnału audio liczącego 256 próbek (częstotliwość próbkowania 44100 Hz

Tabela 1 Porównanie DFT i DCT