6. Transformata Zet

6.1. Związek transformaty Zet z DTFT

Transformata Zet jest uogólnieniem transformaty DTFT. DTFT jest transformatą Fouriera sygnału próbek \(x_s(t)=\sum_{n}{x_n\delta(t-nT)}\).  Przypominamy tu wzór (44):  \(X_s(f)=\sum_nx_nF[δ(t-nT)]=\sum_nx_ne^{-j2πfnT}\). 
Transformatę Zet otrzymujemy przez podstawienie:  

\(z=e^{j2πfT}=cos(2πfT)+j\ sin(2πfT) \) (60)

Przypisuje ono częstotliwości f zmienną zespoloną z. Zmienna z jest punktem na okręgu o promieniu jednostkowym. Istotnie, \(|e^{j2πfT}|=\sqrt{cos^2(2πfT)+sin^2(2πfT)}=1\). Na rys.41 pokazano związek między zmiennymi \(f\) i \(z\).

Rysunek 41 Interpretacja graficzna wzoru (60)

W zakresie częstotliwości od 0 do częstotliwości próbkowania \(f_s=1/T\) punkt z wykonuje pełny obrót, wracając do wartości z=1. W tablicy 2 podano wartości z odpowiadające kilku częstotliwościom z tego zakresu.

Tabela 2 Wartości zmiennej z dla kilku wybranych częstotliwości

f:

0

1/(4T)

1/(2T)

3/(4T)

fs=1/T

z:

1

j

-1

-j

1

 

Podstawiając \(z=e^{j2πfT}\) do wzoru na widmo DTFT: \(X_s(f)=\sum_nx_ne^{-j2πfnT}=\sum_nx_nz^{-n}\) otrzymuje się wzór na transformatę Zet:

\(X(z)=Z[ \{{X_n}\}]=\sum_nx_nz^{-n}\) (61)

Transformata Zet może być obliczona dla każdej zespolonej wartości zmiennej z, dla której suma (61) jest skończona.