Podręcznik: Związek transformaty Zet z DTFT

6. Transformata Zet

6.1. Związek transformaty Zet z DTFT

Transformata Zet jest uogólnieniem transformaty DTFT. DTFT jest transformatą Fouriera sygnału próbek $x_s(t)=\sum_{n}{x_n\delta(t-nT)}$ . Przypominamy tu wzór (44): $X_s(f)=\sum_nx_nF[δ(t-nT)]=\sum_nx_ne^{-j2πfnT}$ .
Transformatę Zet otrzymujemy przez podstawienie:

$z=e^{j2πfT}=cos(2πfT)+j\ sin(2πfT)$

(60)

Przypisuje ono częstotliwości f zmienną zespoloną z. Zmienna z jest punktem na okręgu o promieniu jednostkowym. Istotnie, $|e^{j2πfT}|=\sqrt{cos^2(2πfT)+sin^2(2πfT)}=1$ . Na rys.41 pokazano związek między zmiennymi $f$ i $z$ .

Rysunek 41 Interpretacja graficzna wzoru (60)

W zakresie częstotliwości od 0 do częstotliwości próbkowania $f_s=1/T$ punkt z wykonuje pełny obrót, wracając do wartości z=1. W tablicy 2 podano wartości z odpowiadające kilku częstotliwościom z tego zakresu.

Tabela 2 Wartości zmiennej z dla kilku wybranych częstotliwości

f:	0	1/(4T)	1/(2T)	3/(4T)	f_s=1/T
z:	1	j	-1	-j	1

Podstawiając $z=e^{j2πfT}$ do wzoru na widmo DTFT: $X_s(f)=\sum_nx_ne^{-j2πfnT}=\sum_nx_nz^{-n}$ otrzymuje się wzór na transformatę Zet:

$X(z)=Z[ \{{X_n}\}]=\sum_nx_nz^{-n}$

(61)

Transformata Zet może być obliczona dla każdej zespolonej wartości zmiennej z, dla której suma (61) jest skończona.