Podręcznik: Właściwości transformaty Zet

6. Transformata Zet

6.2. Właściwości transformaty Zet

1. Liniowość.

Transformata Zet kombinacji liniowej sygnałów dyskretnych jest kombinacją liniową ich transformat Zet:

$Z[\{ax_n+by_n\}]=aX(z)+bY(z)$

(62)

2. Przesunięcie.

Przesunięcie ciągu próbek o k w lewo oznacza pomnożenie transformaty Zet przez $z^k$ .

$Z[{x_{n+k}}]=\sum\limits _nx_{n+k}z^{-n}=z^k\sum\limits_nx_{n+k}z^{-(n+k)}=z^kX(z)$

(63)

Najczęściej mamy do czynienia z opóźnieniem o jedną próbkę, co oznacza pomnożenie transformaty przez z^-1

3. Tłumienie (mnożenie przez ciąg eksponencjalny).

$Z[\{x_na^n\}]=\sum\limits_nx_na^nz^{-n}=\sum\limits_nx_n\frac{z}{a}^{-n}=X[\frac{z}{a}]$

(64)

4. Tłumienie (mnożenie przez ciąg eksponencjalny).

Sumę splotową określamy wzorem (65), a operację splotu oznaczamy gwiazdką:

$y_n=\sum\limits ^{\infty }_{k=-\infty }x_kh_{n-k} ⇒ y_n=x_n*h_n$

(65)

Transformata Zet splotu jest iloczynem transformat

$y_n=\sum\limits ^{\infty }_{n=-\infty}y_nz^{-n}=\sum\limits ^{\infty }_{n=-\infty}\sum\limits ^{\infty }_{k=-\infty}x_kh_{n-k}z^{-n}=\sum\limits ^{\infty }_{k=-\infty}x_k\sum\limits ^{\infty }_{n=-\infty}h_{n-k}z^{-n}=\\=\sum\limits ^{\infty }_{k=-\infty}x_kz^{-k}\sum\limits ^{\infty }_{n=-\infty}h_{n-k}z^{n-k}=X(z)\cdot H(z)$

(66)

Przykład: Obliczymy splot dwóch sygnałów dyskretnych: $\{x_n\}$ i $\{h_n\}$ najpierw metodą bezpośrednią, a potem poprzez mnożenie transformat Zet.
Ze wzoru $y_n=\sum\nolimits ^{\infty }_{i=-\infty}x_ih_{n-1}$ wynika, ze należy obliczyć lustrzane odbicie ciągu $\{h_i\}$ , przesunąć o n pozycji i pomnożyć przez $\{x_i\}$ . Operacje te pokazano na rys. 42.
Dla przesunięcia n=0 istnieje tylko jedna pozycja i=0 wspólna dla ciągów $\{x_i\}$ i z $\{h_{n-i}\}$ . Otrzymujemy $y_0=x_0h_0=1$ . Dla n=1 wspólne są pozycje 0 i 1 (patrz rys.42). Otrzymujemy $y_1=x_0h_1+x_1h_0=1.5$ . Podobnie otrzymujemy $y_2=1.5 \ i \ y_3=0.5$ . Pozostałe wartości splotu są równe zeru.