6. Transformata Zet

6.2. Właściwości transformaty Zet

1.    Liniowość.  

Transformata Zet kombinacji liniowej sygnałów dyskretnych jest kombinacją liniową ich transformat Zet:

\(Z[\{ax_n+by_n\}]=aX(z)+bY(z)\) (62)

2.    Przesunięcie.

Przesunięcie ciągu próbek o k w lewo oznacza pomnożenie transformaty Zet przez \(z^k\). 

\(Z[{x_{n+k}}]=\sum\limits _nx_{n+k}z^{-n}=z^k\sum\limits_nx_{n+k}z^{-(n+k)}=z^kX(z)\) (63)

Najczęściej mamy do czynienia z opóźnieniem o jedną próbkę, co oznacza pomnożenie transformaty przez z-1

3.    Tłumienie (mnożenie przez ciąg eksponencjalny).

\(Z[\{x_na^n\}]=\sum\limits_nx_na^nz^{-n}=\sum\limits_nx_n\frac{z}{a}^{-n}=X[\frac{z}{a}]\) (64)

4.    Tłumienie (mnożenie przez ciąg eksponencjalny).

Sumę splotową określamy wzorem (65), a operację splotu oznaczamy gwiazdką:

\(y_n=\sum\limits ^{\infty }_{k=-\infty }x_kh_{n-k} ⇒ y_n=x_n*h_n\) (65)

 

Transformata Zet splotu jest iloczynem transformat

\(y_n=\sum\limits ^{\infty }_{n=-\infty}y_nz^{-n}=\sum\limits ^{\infty }_{n=-\infty}\sum\limits ^{\infty }_{k=-\infty}x_kh_{n-k}z^{-n}=\sum\limits ^{\infty }_{k=-\infty}x_k\sum\limits ^{\infty }_{n=-\infty}h_{n-k}z^{-n}=\\=\sum\limits ^{\infty }_{k=-\infty}x_kz^{-k}\sum\limits ^{\infty }_{n=-\infty}h_{n-k}z^{n-k}=X(z)\cdot H(z)\) (66)

Przykład:  Obliczymy splot dwóch sygnałów dyskretnych: \(\{x_n\}\) i \(\{h_n\}\) najpierw metodą bezpośrednią, a potem poprzez mnożenie transformat Zet.
Ze wzoru \(y_n=\sum\nolimits ^{\infty }_{i=-\infty}x_ih_{n-1}\)  wynika, ze należy obliczyć lustrzane odbicie ciągu \(\{h_i\}\), przesunąć o n pozycji i pomnożyć przez \(\{x_i\}\). Operacje te pokazano na rys. 42. 
Dla przesunięcia n=0 istnieje tylko jedna pozycja i=0 wspólna dla ciągów \(\{x_i\}\) i z \(\{h_{n-i}\}\). Otrzymujemy \(y_0=x_0h_0=1\). Dla n=1 wspólne są pozycje 0 i 1 (patrz rys.42). Otrzymujemy \(y_1=x_0h_1+x_1h_0=1.5\). Podobnie otrzymujemy  \(y_2=1.5 \ i \ y_3=0.5\).  Pozostałe wartości splotu są równe zeru. 


Rysunek 42 Obliczanie splotu sygnałów dyskretnych

Znacznie prościej jest obliczyć transformaty Zet obu sygnałów dyskretnych i pomnożyć je:  \(Y(z)=X(z)\cdot H(z)\)
W kolejnych krokach otrzymujemy: 
 

\(X(z)=1+z^{-1}+z^{-2}\)

\(H(z)=1+\frac{1}{2}z^{-1}\)

\(Y(z)=X(z)H(z)=1+\frac{1}{2}z^{-1}+z^{-1}+\frac{1}{2}z^{-2}+z^{-2}+\frac{1}{2}z^{-3}=\\=1+\frac{3}{2}z^{-1}+\frac{3}{2}z^{-2}+\frac{1}{2}z^{-3}=y_0+y_1z^{-1}+y_2z^{-2}+y_3z^{-3}\)

  

Mając transformatę \(Y(z)\) możemy bezpośrednio z niej odczytać współczynniki \(y_n\). Wynik jest identyczny z otrzymanym metodą sumowania.