6. Transformata Zet

6.4. Obliczanie prostej i odwrotnej transformaty Zet

Na rys.44 pokazano sygnał dyskretny, zwany skokiem jednostkowym, oznaczanym przez 1n lub un. 

Rysunek 44 Skok jednostkowy

Transformata Zet skoku jednostkowego jest sumą wyrazów ciągu geometrycznego:

\(Z[1_n]=\sum\limits _{n=0}^{∞}z^{-n}=\sum\limits _{n=0}^{∞}(\frac{1}{z})^n=\frac{1}{1-\frac{1}{z}}=\frac{z}{z-1}\) (72)

Wzór (72) jest słuszny gdy suma ma wartość skończoną (czyli dla \(\left|z\right|>1\)).
Wartość splotu sygnału xk ze skokiem jednostkowym, obliczona w chwili n,  jest równa sumie wartości sygnału xk do chwili n włącznie. Innymi słowy jest to akumulacja wartości sygnału xk.

\(y_n=x_n*1_n=\sum\limits _{k=-∞}^{∞}x_k1_{n-k}\xrightarrow{k\leq n}\sum\limits _{k=-∞}^{n}x_k\) (73)

Z twierdzenia o splocie (wzór 66) transformata Zet zakumulowanych wartości sygnału xk wynosi 

\(Y(z)=Z[x_n\ast1_n]=X(z)\frac{z}{z-1}\) (74)

W analizie sygnałów I układów czasu dyskretnego często zakłada się, że sygnał ma wartości zerowe w ujemnych chwilach czasu:  \(x_n=0,\quad n<0\).  Dla takich sygnałów transformata Zet staje się prawostronną transformatą Zet:

\(X(z)=\sum\nolimits_{n=0}^{∞}x_nz^{-n}\) (75)

Obliczmy transformatę Zet ciągu eksponencjalnego  \(y_n=a^n{\ 1}_n\)  (rys.45). Można to uczynić poddając tłumieniu sygnał skoku jednostkowego (wzór 64), lub wykonać obliczenia bezpośrednio z definicji transformaty Zet (wzór 61):

\(Y(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}{a^nz^{-n}=}\sum\limits_{n=0}^{\infty}{(\frac{a}{z})^n=}\frac{1}{1-\frac{a}{z}}=\frac{z}{z-a}\) (76)

Wzór (76) jest słuszny gdy suma ma wartość skończoną (czyli dla \(\left|z\right|>|a|\)).

Rysunek 45 Ciąg eksponencjalny (wykładniczy)

W przypadku gdy ciąg zawiera skończoną liczbę elementów, wówczas obliczamy transformatę Zet bezpośrednio z definicji (wzór 61). Np. transformata Zet sygnału składającego się z dwóch elementów: \(x_1=2,\ x_2=-1\) wynosi \( X(z)=\sum_{n=1}^{2}x_nz^{-n}=2z^{-1}-z^{-2}\).
Odwrotną transformatę Zet \((Z^{-1})\) najłatwiej jest obliczyć w przypadku, gdy transformata Zet jest wielomianem. Wartości sygnału są współczynnikami tego wielomianu. Np. dla \(X(z)=2z-1+z^{-2}\) natychmiast odczytujemy  \(x_{-1}=2,\ x_0=-1,\ x_2=1\). 
W przypadku gdy transformata Zet ma postać opisaną we wzorze (76), sygnał jest eksponencjalny. 

\(Y(z)=\frac{z}{z-a}\ \rightarrow\ y_n=a^n1_n\) (77)

Podobnie jest w następującym przypadku

\(Y(z)=\frac{za}{(z-a)2} → y_n=na^n1_n\) (78)

W przypadku gdy w liczniku zamiast zmiennej z do potęgi pierwszej mamy inny wykładnik, zapisujemy transformatę Zet w postaci \(z^m\frac{z}{z-a}\) i interpretujemy \(z^m\) jako przesunięcie o m taktów (próbek). Np. 
\(Z^{-1}[\frac{b}{z-a}]=bZ^{-1}[\frac{1}{z-a}]=bZ^{-1}[\frac{1}{z}\frac{z}{z-a}]=b 1_{n-1}a^{n-1}\). Mnożenie przez stałą b przenosi się w dziedzinę czasu, co wynika z liniowości transformaty Zet (wzór 62). 
Gdy transformata Zet jest funkcją wymierną, dążymy do zapisania jej w postaci sumy wyrażeń opisanych w (77), (78). Innymi słowy, dokonujemy rozkładu funkcji wymiernej na ułamki proste: 

\(X(z)=\frac{b_mz^m+b_{m-1}z^{m-1}+\ldots+b_0}{a_mz^m+a_{m-1}z^{m-1}+\ldots+a_0}=\frac{(z-{\hat{z}}_1)(z-{\hat{z}}_2)\cdots(z-{\hat{z}}_m)}{(z-z_1)(z-z_2)\cdots(z-z_m)}=\sum\limits_{i=1}^{m}\frac{r_iz}{(z-z_i)}\) (79)

Następnie, korzystając z (77),  konstruujemy sygnał xn jako sumę ciągów eksponencjalnych:

\(x_n=\sum\limits_{i=1}^{m}r_i(z_i)^n1_n\) (80)

Problemem jest jedynie obliczenie współczynników \(r_i\).  Zauważmy, że mnożąc (79) przez \(\frac{z-z_1}{z}\) i podstawiając \(z=z_1\), otrzymamy współczynnik  \(r_1\).  Podobnie otrzymujemy kolejne współczynniki.

\(r_i=\lim\limits_{z\rightarrow z_i}X(z)\frac{z-z_i}{z}\) (81)

 Odwrotna transformata Zet w postaci (80) może być ciągiem dążącym do zera, utrzymującym stała amplitudę oscylacji lub dążącym do nieskończoności. Zależy to od biegunów funkcji wymiernej \(X(z)\), czyli zer wielomianu znajdującego się w mianowniku. Aby ciąg xn dążył do zera, wszystkie bieguny muszą spełniać warunek \(\left|z_i\right|<1\). Geometrycznie, muszą znajdować się w kole o promieniu jednostkowym. Jeśli choć jeden biegun znajdzie się poza tym kołem (\(\left|z_i\right|>1 \)), wówczas cały ciąg xn będzie dążył do nieskończoności. Reasumując,

\(\forall\ i,\ \left|z_i\right|<1  ⇒ x_n→0\) (82)
\(\exists\ i,\ \left|z_i\right|>1  ⇒ x_n→∞\) (83)