Podręcznik: Obliczanie prostej i odwrotnej transformaty Zet

6. Transformata Zet

6.4. Obliczanie prostej i odwrotnej transformaty Zet

Na rys.44 pokazano sygnał dyskretny, zwany skokiem jednostkowym, oznaczanym przez 1_n lub u_n.

Rysunek 44 Skok jednostkowy

Transformata Zet skoku jednostkowego jest sumą wyrazów ciągu geometrycznego:

$Z[1_n]=\sum\limits _{n=0}^{∞}z^{-n}=\sum\limits _{n=0}^{∞}(\frac{1}{z})^n=\frac{1}{1-\frac{1}{z}}=\frac{z}{z-1}$

(72)

Wzór (72) jest słuszny gdy suma ma wartość skończoną (czyli dla $\left|z\right|>1$ ).
Wartość splotu sygnału x_k ze skokiem jednostkowym, obliczona w chwili n, jest równa sumie wartości sygnału x_k do chwili n włącznie. Innymi słowy jest to akumulacja wartości sygnału x_k.

$y_n=x_n*1_n=\sum\limits _{k=-∞}^{∞}x_k1_{n-k}\xrightarrow{k\leq n}\sum\limits _{k=-∞}^{n}x_k$

(73)

Z twierdzenia o splocie (wzór 66) transformata Zet zakumulowanych wartości sygnału x_k wynosi

$Y(z)=Z[x_n\ast1_n]=X(z)\frac{z}{z-1}$

(74)

W analizie sygnałów I układów czasu dyskretnego często zakłada się, że sygnał ma wartości zerowe w ujemnych chwilach czasu: $x_n=0,\quad n$ . Dla takich sygnałów transformata Zet staje się prawostronną transformatą Zet:

$X(z)=\sum\nolimits_{n=0}^{∞}x_nz^{-n}$

(75)

Obliczmy transformatę Zet ciągu eksponencjalnego $y_n=a^n{\ 1}_n$ (rys.45). Można to uczynić poddając tłumieniu sygnał skoku jednostkowego (wzór 64), lub wykonać obliczenia bezpośrednio z definicji transformaty Zet (wzór 61):

$Y(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}{a^nz^{-n}=}\sum\limits_{n=0}^{\infty}{(\frac{a}{z})^n=}\frac{1}{1-\frac{a}{z}}=\frac{z}{z-a}$

(76)

Wzór (76) jest słuszny gdy suma ma wartość skończoną (czyli dla $\left|z\right|>|a|$ ).

Rysunek 45 Ciąg eksponencjalny (wykładniczy)

W przypadku gdy ciąg zawiera skończoną liczbę elementów, wówczas obliczamy transformatę Zet bezpośrednio z definicji (wzór 61). Np. transformata Zet sygnału składającego się z dwóch elementów: $x_1=2,\ x_2=-1$ wynosi $X(z)=\sum_{n=1}^{2}x_nz^{-n}=2z^{-1}-z^{-2}$ .
Odwrotną transformatę Zet $(Z^{-1})$ najłatwiej jest obliczyć w przypadku, gdy transformata Zet jest wielomianem. Wartości sygnału są współczynnikami tego wielomianu. Np. dla $X(z)=2z-1+z^{-2}$ natychmiast odczytujemy $x_{-1}=2,\ x_0=-1,\ x_2=1$ .
W przypadku gdy transformata Zet ma postać opisaną we wzorze (76), sygnał jest eksponencjalny.

$Y(z)=\frac{z}{z-a}\ \rightarrow\ y_n=a^n1_n$

(77)

Podobnie jest w następującym przypadku

$Y(z)=\frac{za}{(z-a)2} → y_n=na^n1_n$

(78)

W przypadku gdy w liczniku zamiast zmiennej z do potęgi pierwszej mamy inny wykładnik, zapisujemy transformatę Zet w postaci $z^m\frac{z}{z-a}$ i interpretujemy $z^m$ jako przesunięcie o m taktów (próbek). Np.
$Z^{-1}[\frac{b}{z-a}]=bZ^{-1}[\frac{1}{z-a}]=bZ^{-1}[\frac{1}{z}\frac{z}{z-a}]=b 1_{n-1}a^{n-1}$ . Mnożenie przez stałą b przenosi się w dziedzinę czasu, co wynika z liniowości transformaty Zet (wzór 62).
Gdy transformata Zet jest funkcją wymierną, dążymy do zapisania jej w postaci sumy wyrażeń opisanych w (77), (78). Innymi słowy, dokonujemy rozkładu funkcji wymiernej na ułamki proste:

$X(z)=\frac{b_mz^m+b_{m-1}z^{m-1}+\ldots+b_0}{a_mz^m+a_{m-1}z^{m-1}+\ldots+a_0}=\frac{(z-{\hat{z}}_1)(z-{\hat{z}}_2)\cdots(z-{\hat{z}}_m)}{(z-z_1)(z-z_2)\cdots(z-z_m)}=\sum\limits_{i=1}^{m}\frac{r_iz}{(z-z_i)}$

(79)

Następnie, korzystając z (77), konstruujemy sygnał xn jako sumę ciągów eksponencjalnych:

$x_n=\sum\limits_{i=1}^{m}r_i(z_i)^n1_n$

(80)

Problemem jest jedynie obliczenie współczynników $r_i$ . Zauważmy, że mnożąc (79) przez $\frac{z-z_1}{z}$ i podstawiając $z=z_1$ , otrzymamy współczynnik $r_1$ . Podobnie otrzymujemy kolejne współczynniki.

$r_i=\lim\limits_{z\rightarrow z_i}X(z)\frac{z-z_i}{z}$

(81)

Odwrotna transformata Zet w postaci (80) może być ciągiem dążącym do zera, utrzymującym stała amplitudę oscylacji lub dążącym do nieskończoności. Zależy to od biegunów funkcji wymiernej $X(z)$ , czyli zer wielomianu znajdującego się w mianowniku. Aby ciąg x_n dążył do zera, wszystkie bieguny muszą spełniać warunek $\left|z_i\right|$ . Geometrycznie, muszą znajdować się w kole o promieniu jednostkowym. Jeśli choć jeden biegun znajdzie się poza tym kołem ( $\left|z_i\right|>1$ ), wówczas cały ciąg xn będzie dążył do nieskończoności. Reasumując,

$\forall\ i,\ \left\|z_i\right\|$	(82)
$\exists\ i,\ \left\|z_i\right\|>1 ⇒ x_n→∞$	(83)