Podręcznik

Znając transformatę Zet sygnału (ciągu próbek), można otrzymać transformatę Fouriera tego  sygnału przez podstawienie równania okręgu o promieniu jednostkowym (wzór 60): \(z=e^{j2πfT}=cos(2πfT)+j\ sin(2πfT)\). W Tabeli 2 podano wartości zmiennej z dla kilku częstotliwości z zakresu od zera do połowy częstotliwości próbkowania. 
Przed wykonaniem tej czynności należy sprawdzić, czy transformata Zet \(X(z)=Z[\{x_n\}]=\sum_nx_nz^{-n}\) jest zbieżna dla wartości z leżących na okręgu o promieniu jednostkowym, tzn. dla \(\left|z\right|=1\). Transformata Zet ciągu eksponencjalnego (rys.45) jest zbieżna do \(\frac{z}{z-a}\) dla \(\left|z\right|>|a|\) , patrz wzór (76).  Jeśli \(\left|a\right|<\ 1\), wówczas transformata Zet jest zbieżna na okręgu jednostkowym i można obliczyć DTFT. Jeśli \(\left|a\right|>1\), DTFT nie istnieje, gdyż ciąg eksponencjalny dąży do nieskończoności. 
W praktyce wystarczy sprawdzić warunek (82): jeśli wszystkie bieguny transformaty Zet leżą w kole o promieniu jednostkowym, wówczas DTFT istnieje i można skorzystać z podstawienia \(z=e^{j2πfT}\).
Przykład:  \(X\left(z\right)=\frac{z}{z+0.5}\). Oblicz DTFT i naszkicuj wartość bezwzględną zakresie od 0 do częstotliwości próbkowania \(f_s=\frac{1}{T}\). 
X(z) ma biegun w punkcie \(z_1=-0.5\), spełnia więc warunek (82).  Po podstawieniu \(z=e^{j2πfT}=e^{j2πf/fs}\) otrzymuje się widmo DTFT: 

Wartości DTFT dla częstotliwości zerowej i równej połowie częstotliwości próbkowania otrzymamy podstawiając odpowiednio \(z=1\  i\ z=-1\) (tablica 2).  Wartość bezwzględną DTFT naszkicowano na rys. 46.

Rysunek 46 Przykład widma DTFT (wartość bezwzględna)