Poprzedni
Następny  

7. Filtry cyfrowe

7.1. Cyfrowe układy liniowe niezależne od czasu

Układ czasu dyskretnego (potocznie nazywany układem lub filtrem cyfrowym) przetwarza ciąg wejściowy {x<sub>n</sub>} na ciąg wyjściowy {y<sub>n</sub>} – rys.47.

Rysunek 47 Filtr cyfrowy

Podobnie jak w układach czasu ciągłego, wprowadza się pojęcie układu liniowego niezależnego od czasy (LTI – linear time invariant):

Układ jest liniowy, gdy spełnia zasadę superpozycji: 

wejście  {x<sub>n</sub>} = x0, x1, x2… wyjście  {y<sub>n</sub>}= H[{x<sub>n</sub>}]
wejście  {u<sub>n</sub>} = u0, u1, u2… wyjście  {v<sub>n</sub>}= H[{u<sub>n</sub>}]
wejście  a {x<sub>n</sub>} + b {u<sub>n</sub>} wyjście  a {y<sub>n</sub>} + b {v<sub>n</sub>}


 

 

 

Układ jest niezależny od czasu, gdy opóźniony sygnał wejściowy xn-m wywołuje reakcję filtru w postaci yn-m, tzn. przebieg czasowy sygnału wyjściowego ulega jedynie opóźnieniu, jego kształt pozostaje bez zmian: 

wejście  {x<sub>n</sub>}  wyjście  {y<sub>n</sub>}
wejście  {x<sub>n-m</sub>}  wyjście  {v<sub>n-m</sub>}

 

 

 

Układy cyfrowe LTI są opisane w dziedzinie czasu za pomocą splotu podobnie jak układy LTI czasu ciągłego – p.2.4. 

wejście  dn  (delta Kroneckera)               wyjście  yn= hn (odpowiedź impulsowa)  
wejście  dn-k  (opóźniona delta Kroneckera)  wyjście yn= hn-k   
wejście  xk dn-k                wyjście  yn= xk hn-k   
wejście \{x_n\}=\sum_{k}{x_k\delta_{n-k}}        wyjście  y_n=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x_kh_{n-k}=x_n*h_n (84)

 

 

 

 

 

Jeśli odpowiedź impulsowa jest równa zeru dla ujemnych chwil czasu dyskretnego (hn=0, n < 0), wówczas splot (84) można przepisać w postaci

y_n=\sum_{k=-\infty}^{n}{\ x_k}h_{n-k} (85)

Mówimy wówczas o układach przyczynowych.  Istotnie, n-ta próbka sygnału wyjściowego zależy od poprzednich próbek sygnału wejściowego, nie zależy natomiast od próbek następnych.  

Układy LTI można opisać w dziedzinie zmiennej z , korzystając z twierdzenia o transformacie Zet splotu (wzór 66):

Y(z)=X(z)H(z),\qquad H(z)=Ζ[\{hn\}] (86)

Transformata Zet odpowiedzi impulsowej układu jest transmitancją układu.

 
  Poprzedni
Następny