Podręcznik
7. Filtry cyfrowe
7.2. Stabilność układu
Załóżmy, że sygnał wejściowy układu LTI maleje do zera w miarę upływu czasu: xn→0 gdy n\rightarrow\infty. Oznacza to, że wszystkie bieguny transformaty X(z) znajdują się w kole o promieniu jednostkowym (wzór 82). Transformata Zet sygnału wyjściowego jest iloczynem X(z) i transmitancji układu H(z) – wzór (86). Jeżeli wszystkie bieguny H(z) znajdują się w kole jednostkowym, wówczas to samo można powiedzieć o biegunach Y(z)=X(z)H(z) i sygnał wyjściowy y_n\rightarrow0 dla n\rightarrow\infty. O takim układzie (filtrze) mówimy, że jest stabilny.
Jeśli choć jeden biegun transmitancji znajduje się poza kołem jednostkowym (wzór 83), wówczas yn→∞. O takim układzie mówimy, że jest niestabilny.
Korzystamy tu z pojęcia stabilności w sensie BIBO (Bounded Input – Bounded Output): Jeśli sygnał wejściowy jest ograniczony, to sygnał wyjściowy stabilnego filtru jest również ograniczony.
Aby zbadać stabilność układu LTI, należy obliczyć bieguny jego transmitancji i skorzystać s warunków (82), (83).
Niestabilny układ nie posiada charakterystyki częstotliwościowej, która jest transformatą DTFT odpowiedzi impulsowej. Suma H(z)=Z[{hn}]=∑nhnz−n nie jest zbieżna dla z=ej2πfT, gdyż odpowiedź impulsowa dąży do nieskończoności ze względu na biegun (lub bieguny) H(z) leżące poza kołem jednostkowym.
Bieguny H(z) są zerami (pierwiastkami) wielomianu z2−z+0.5.
Rozwiązujemy równanie z2−z+0.5=0, otrzymujemy z1=0.5+j0.5 i z2=0.5−j0.5
Odległość obu biegunów od początku układu współrzędnych wynosi |z1|=|z2|=1√2
Bieguny leżą w kole o promieniu jednostkowym, więc układ LTI jest stabilny.