7. Filtry cyfrowe

7.2. Stabilność układu

Załóżmy, że sygnał wejściowy układu LTI maleje do zera w miarę upływu czasu: xn0 gdy n\rightarrow\infty. Oznacza to, że wszystkie bieguny transformaty X(z) znajdują się w kole o promieniu jednostkowym (wzór 82). Transformata Zet sygnału wyjściowego jest iloczynem X(z) i transmitancji układu  H(z) – wzór (86).  Jeżeli wszystkie bieguny H(z) znajdują się w kole jednostkowym, wówczas to samo można powiedzieć o biegunach Y(z)=X(z)H(z) i sygnał wyjściowy y_n\rightarrow0 dla n\rightarrow\infty.  O takim układzie (filtrze) mówimy, że jest stabilny.
Jeśli choć jeden biegun transmitancji znajduje się poza kołem jednostkowym (wzór 83), wówczas yn. O takim układzie mówimy, że jest niestabilny. 
Korzystamy tu z pojęcia stabilności w sensie BIBO (Bounded Input – Bounded Output): Jeśli sygnał wejściowy jest ograniczony, to sygnał wyjściowy stabilnego filtru jest również ograniczony.
Aby zbadać stabilność układu LTI, należy obliczyć bieguny jego transmitancji i skorzystać s warunków (82), (83).
Niestabilny układ nie posiada charakterystyki częstotliwościowej, która jest transformatą DTFT odpowiedzi impulsowej. Suma H(z)=Z[{hn}]=nhnzn nie jest zbieżna dla z=ej2πfT, gdyż odpowiedź impulsowa dąży do nieskończoności ze względu na biegun (lub bieguny) H(z) leżące poza kołem jednostkowym.
 

Przykład analizy stabilności układu o transmitancji  H(z)=z2z2z+0.5
Bieguny  H(z) są zerami (pierwiastkami) wielomianu  z2z+0.5.

Rozwiązujemy równanie z2z+0.5=0,  otrzymujemy  z1=0.5+j0.5  i  z2=0.5j0.5
Odległość obu biegunów od początku układu współrzędnych wynosi |z1|=|z2|=12
Bieguny leżą w kole o promieniu jednostkowym, więc układ LTI jest stabilny.