7. Filtry cyfrowe

7.3. Równania różnicowe

W praktyce układ (filtr) LTI jest najczęściej opisany równaniem różnicowym:

\(y_n=\sum\limits_{i=0}^{N}b_ix_{n-i}-\sum\limits_{i=1}^{M}a_iy_{n-i}\) (87)

Bieżąca próbka sygnału wyjściowego jest kombinacją liniową N+1 próbek sygnału wejściowego i M poprzednich próbek sygnału wyjściowego. Wzór (87) opisuje sieć działań algorytmu filtracji. Obliczmy transmitancję tego filtru,
Podstawiając  \(a_0=1\), przekształcamy równanie różnicowe: \(\sum_{i=0}^{M}a_iy_{n-i}=\sum_{i=0}^{N}b_ix_{n-i}\)
Obliczamy transformatę Zet obu jego stron:
\(\sum_{i=0}^{M}a_iΖ[y_{n-i}]=\sum_{i=0}^{N}b_iΖ[x_{n-i}]\)         \(\sum_{i=0}^{M}a_iz^{-i}Y(z)=\sum_{i=0}^{N}b_iz^{-i}X(z)\)    
Z twierdzenia o przesunięciu (wzór 63):    \(Y(z)\sum_{i=0}^{M}a_iz^{-i}=X(z)\sum_{i=0}^{N}b_iz^{-i}\)
Transmitancja układu:    

\(H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{\sum_{i=0}^{N}b_iz^{-i}}{\sum_{i=0}^{M}a_iz^{-i}}=\frac{z^{-N}\sum_{i=0}^{N}b_iz^{N-i}}{z^{-M}\sum_{i=0}^{M}a_iz^{M-i}}=\frac{B(z)}{A(z)}\) (88)

Transmitancja H(z) jest funkcją wymierną, ma N zer i M biegunów.  Wyciągając czynniki z-M i  z-N przed sumy, otrzymujemy wielomiany o nieujemnych potęgach. Czynniki  z-M i  z-N reprezentują jedynie przesunięcie w czasie, opóźnienie o M-N próbek.