Podręcznik: Równania różnicowe

7. Filtry cyfrowe

7.3. Równania różnicowe

W praktyce układ (filtr) LTI jest najczęściej opisany równaniem różnicowym:

$y_n=\sum\limits_{i=0}^{N}b_ix_{n-i}-\sum\limits_{i=1}^{M}a_iy_{n-i}$

(87)

Bieżąca próbka sygnału wyjściowego jest kombinacją liniową N+1 próbek sygnału wejściowego i M poprzednich próbek sygnału wyjściowego. Wzór (87) opisuje sieć działań algorytmu filtracji. Obliczmy transmitancję tego filtru,
Podstawiając $a_0=1$ , przekształcamy równanie różnicowe: $\sum_{i=0}^{M}a_iy_{n-i}=\sum_{i=0}^{N}b_ix_{n-i}$
Obliczamy transformatę Zet obu jego stron:
$\sum_{i=0}^{M}a_iΖ[y_{n-i}]=\sum_{i=0}^{N}b_iΖ[x_{n-i}]$ $\sum_{i=0}^{M}a_iz^{-i}Y(z)=\sum_{i=0}^{N}b_iz^{-i}X(z)$
Z twierdzenia o przesunięciu (wzór 63): $Y(z)\sum_{i=0}^{M}a_iz^{-i}=X(z)\sum_{i=0}^{N}b_iz^{-i}$
Transmitancja układu:

$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{\sum_{i=0}^{N}b_iz^{-i}}{\sum_{i=0}^{M}a_iz^{-i}}=\frac{z^{-N}\sum_{i=0}^{N}b_iz^{N-i}}{z^{-M}\sum_{i=0}^{M}a_iz^{M-i}}=\frac{B(z)}{A(z)}$

(88)

Transmitancja H(z) jest funkcją wymierną, ma N zer i M biegunów. Wyciągając czynniki z^-M i z^-N przed sumy, otrzymujemy wielomiany o nieujemnych potęgach. Czynniki z^-M i z^-N reprezentują jedynie przesunięcie w czasie, opóźnienie o M-N próbek.