Podręcznik

Metoda ta opiera się na wykorzystaniu odwrotnej Dyskretnej Transformaty Fouriera (IDFT):

1. Próbkujemy idealną charakterystykę częstotliwościową (linia przerywana na rys.53) w częstotliwościach \(f_k=\frac{k}{TL},\ \ k=0,1,…,L- 1\).  Pamiętamy o odtworzeniu „lustrzanego odbicia”, gdyż obejmujemy zakres częstotliwości od 0 do częstotliwości próbkowania 1/T (T jest okresem próbkowania). Oznacza to, że \(X_{L-k}=X_k^\ast\) (gwiazdka oznacza sprzężenie.)
2. Utworzony w ten sposób wektor \(\overline{H}\) poddajemy odwrotnej transformacji DFT:

   \(\overline{h}={\overline{W}}^{-1}\overline{H}=IDFT(\overline{H})\)

   (92)

3. Otrzymany wektor   zawiera próbki odpowiedzi impulsowej filtru dolnopasmowego. Można go wykorzystać do filtracji sygnału {x_n}:  \(y_n=\sum_{i=0}^{L-1}h_ix_{n-i}\).
4. Aby porównać zaprojektowany filtr z filtrem idealnym, obliczamy DTFT odpowiedzi impulsowej, czyli charakterystykę częstotliwościową zaprojektowanego filtru, podstawiając \(z=e^{j2πfT=ej2πf/fs}\) do wzoru na transmitancję: \(H(z)=\sum_{i=0}^{L-1}h_iz^{-i}\). 

Przykładowe wyniki podano na rys.54, gdzie wykreślono wartość bezwzględną charakterystyki częstotliwościowej w decybelach w zakresie częstotliwości od 0 do połowy częstotliwości próbkowania. Na rys.55 podano położenie zer transmitancji zaprojektowanego filtru. W zakresie do połowy częstotliwości próbkowania występuje 8 zer w paśmie zaporowym. Ich wpływ widać na rys.54: charakterystyka częstotliwościowa osiąga wartość zerową (w decybelach to \(-\infty\)) w 8 równoodległych punktach. Są to częstotliwości, w których pobraliśmy próbki idealnej charakterystyki częstotliwościowej. Zaprojektowany filtr ma niską wartość tłumienia w paśmie zaporowym, około 20 dB. 

Rysunek 54 Charakterystyka częstotliwościowa zaprojektowanego filtru

Rysunek 55 Położenie zer transmitancji zaprojektowanego filtru