Podręcznik
2. Analiza widmowa Fouriera
Analiza widmowa Fouriera sygnałów jako superpozycja funkcji sinus i cosinus jest obecnie niemal wszechobecna w dziedzinie identyfikacji i analizy sygnałów pomiarowych. Użyteczność transformaty Fouriera zawiera się w jej zdolności do analizy przebiegu czasowego sygnału pod kątem jego „zawartości częstotliwościowej”. Zastosowana w tym celu transformacja sygnału polega na przetworzeniu funkcji opisanej w dziedzinie czasu na funkcję opisaną w dziedzinie częstotliwości. Dopiero wtedy, sygnał może być analizowany pod kątem jego właściwości częstotliwościowych. W przypadku transformaty dyskretnej, współczynniki transformaty reprezentują udział każdej ze składowych przebiegów typu sinus i cosinus w funkcji ich częstotliwości.
Na potrzeby analizy widmowej niezbędne jest wprowadzenie klasyfikacji sygnałów na sygnały o ograniczonej energii (rys.2.1):
![]() |
(2.1) |
Rys. 2.1. Przykład sygnału o ograniczonej energii
oraz sygnały okresowe o ograniczonej mocy średniej (rys.2.2):
![]() |
(2.2) |
Rys. 2.2. Fragment sygnału okresowego o ograniczonej mocy średniej
Dla ciągłego sygnału analogowego x(t) o ograniczonej energii definiuje się pojęcie widma X(w)[1] za pomocą tzw. ciągłej transformaty Fouriera:
![]() |
(2.3) |
określanej też mianem transformaty całkowej. Na odtworzenie sygnału z jego widma pozwala transformata odwrotna:
![]() |
(2.4) |
W obydwu wzorach w = 2pf = 2p/T oznacza pulsację.
W przypadku sygnału okresowego xp(t) (periodycznego, stąd symbol p) wyznaczenie widma jest bardziej proste i polega na rozwinięciu jednego jego okresu w zespolony szereg Fouriera:
![]() |
(2.5) |
gdzie współczynniki tego rozwinięcia Xpk stanowią dyskretne widmo sygnału, i można je wyliczyć za pomocą całki Fouriera zastosowanej do pojedynczego okresu:
![]() |
(2.6) |
W obydwu wzorach w0 = 2pf0 = 2p/T stanowi pulsację sygnału okresowego.
W ogólności składowe widma są liczbami zespolonymi, a więc można im przyporządkować pewną amplitudę i fazę. Oczywiście można je również zapisać w postaci trygonometrycznej. Na rys.2.3 zamieszczono zestaw przebiegów wyjaśniających zasadę syntezy fali prostokątnej, z przebiegów harmonicznych o zerowej fazie początkowej. Jest to proces odwrotny w stosunku do tego, co obserwujemy w trakcie analizy widmowej. Do syntezy wykorzystano, w sposób stopniowy następujące sygnały:
![]() |
(2.7) |
![]() |
(2.8) |
![]() |
(2.9) |
![]() |
(2.10) |
Jak widać sygnały te otrzymano drogą sumowania nieparzystych harmonicznych o amplitudach proporcjonalnych do 1/n, gdzie n oznacza numer harmonicznej. Na rysunku 2.3 widać wyraźnie jak liczba składowych (nieparzystych harmonicznych) wpływa na kształt przebiegu wynikowego.
Rys. 2.3. Przykład kolejnego sumowania nieparzystych harmonicznych: 1 – x1(t), 2 – x3(t), 3 – x5(t)
Poszczególnym fragmentom widma, tak zdefiniowanego sygnału, przypisuje się pewne szczególne nazwy i znaczenie zgodne z interpretacją zjawisk fizycznych (rys.2.4). Prążek znajdujący się na pozycji zerowej, prążek zerowy, jest określany mianem składowej stałej przebiegu. Prążek z nim sąsiadujący nosi nazwę podstawowej harmonicznej, zaś wszystkie pozostałe określane są mianem wyższych harmonicznych.[2]
Rys. 2.4. Przykładowe widmo sygnału
Wyznaczanie ciągłego widma sygnału (całkowa transformata Fouriera), czyli analiza widmowa, wymaga stosunkowo skomplikowanych obliczeń matematycznych [22]. Na szczęście, po przejściu do przypadku dyskretnego, obliczenia te mogą być wykonywane za pomocą komputera. Przedtem jednak należy wybrany fragment realizacji sygnału wczytać do pamięci komputera. Wymaga to uprzedniego przetworzenia tego sygnału do postaci cyfrowej, a więc próbkowania i kwantyzacji. W praktyce pomiarowej, gdy mamy do czynienia z sygnałami niezdeterminowanymi, napotykamy pewne trudności, których podstawową przyczyną jest właśnie tzw. skończony czas obserwacji sygnału. Do analizy widmowej, z konieczności, przeznaczony zostanie tylko pewien jego fragment - np. część zaznaczona linią przerywaną na rys. 2.5, zawierająca L próbek.
Rys. 2.5. Obraz fragmentu sygnału przeznaczonego do analizy
Mówimy w takim przypadku, że na sygnał nałożone zostało okno czasowe o kształcie prostokątnym, zgodnie z zależnością (2.11).
![]() |
(2.11) |
Wyznaczenie widma polega, w takim przypadku, na zastosowaniu algorytmu Dyskretnej Transformaty Fouriera (Discrete Fourier Transform: DFT). Każdy prążek widma wyznacza się z zależności:
![]() |
(2.12) |
Przykładowy obraz dyskretnego widma sygnału rzeczywistego, uzyskany w jednym ze wspomnianych już środowisk inżynierskich (LabWinows/CVI, MATLAB) przedstawiono na rys. 2.6.
Rys. 2.6. Przykładowy obraz dyskretnego widma sygnału rzeczywistego
Zastosowanie algorytmu odwrotnej Dyskretnej Transformaty Fouriera (Inverse Discrete Fourier Transform: IDFT), umożliwia odtworzenie ciągu próbek sygnału (2.13).
![]() |
(2.13) |
Przy czym, ponieważ idea Dyskretnej Transformaty Fouriera wymaga „spróbkowania widma”, sygnał odtworzony przyjmuje formę okresową, tzn. następuje powielenie na osi czasu fragmentu sygnału przyjętego do analizy (rys. 2.7).
Rys. 2.7. Przykład sygnału odtworzonego z dyskretnego widma
Z rysunku wynika, że przypadkowość polegająca na „wycięciu z kontekstu” fragmentu sygnału (do analizy) objawiać się może w znaczącym odkształceniu przebiegu sygnału na krańcach przedziału po jego odtworzeniu. Znajduje to swoje odzwierciedlenie w widmie sygnału. Skutecznym sposobem ograniczenia niekorzystnego wpływu tego efektu na przebieg analizy jest uprzednie „odkształcenie” tego wycinka sygnału przez zastosowanie okna czasowego o kształcie odmiennym od prostokątnego. Znanych i stosowanych jest wiele różnych kształtów okien czasowych. Zwykle, kształt takiego okna w sposób łagodny tłumi do zera amplitudy próbek sygnału na krańcach przedziału. Nie ma recepty na dobór kształtu okna czasowego. Są jednak kryteria pozwalające ocenić właściwości okna w dziedzinie częstotliwości i dobrać okno stosownie do potrzeb. Często, choć nie jest to sposób zalecany, dobiera się je w sposób eksperymentalny, obserwując kształt widma.
W szczególnym przypadku, gdy mamy do czynienia z dyskretnym sygnałem okresowym o okresie N (L=N), do analizy możemy przeznaczyć wycinek będący wielokrotnością okresu. Wtedy mamy do czynienia z przypadkiem synchronicznej analizy widmowej, nie wymagającej użycia okien czasowych o wymyślnych kształtach.
Podsumowanie powyższych rozważań stanowi treść rysunku 2.8, na którym zamieszczono przykład analizy widmowej sygnału harmonicznego o częstotliwości fh=Kfp/L. Jak z niego wynika, w przypadku ogólnym, na całościowy obraz wyników analizy widmowej składają się trzy wskazane tam elementy: wynik analizy synchronicznej, efekt asynchroniczności, efekt kwantyzacji próbek. Na rysunku, dla przejrzystości, zamieszczono tylko obwiednie fragmentów widma leżących po obydwu stronach prążka głównego.
Rys. 2.8. Wpływ poszczególnych efektów na wyniki analizy widmowej
Obliczenia widma sygnału dokonuje się przy użyciu specjalnego programu do wyznaczania transformaty Fouriera. Program taki można napisać wykorzystując algorytm numeryczny, który powszechnie jest znany pod nazwą Szybkiej Transformaty Fouriera (STF). Częściej używana jest jego nazwa angielska: Fast Fourier Transform (FFT). Algorytm ten został tak skonstruowany, aby obliczenia prowadzone były jak najszybciej, a przetwarzanie sygnału mogło odbywać się na bieżąco (czyli w czasie rzeczywistym).
Podstawowy parametr analizy widmowej to rozdzielczość widma: Df. Jest ona równa ilorazowi zakresu częstotliwościowego, (równoważnego fp) i liczby prążków widma L (rozmiar transformaty) (2.14):
![]() |
(2.14) |
Ta zależność umożliwia skuteczne wyskalowanie osi częstotliwości (zastąpienie indeksów próbek widma wartościami częstotliwości) – co nierzadko, z definicji leży w gestii użytkownika jednego z wymienionych wcześniej programów (i nie zawsze jest dla niego przyjazne)[3]. Dla wygody obliczeń, a ściślej, możliwości wykorzystania algorytmu FFT, przyjmuje się L=2n, np. 128, 256, 512, 1024 itd.
W praktyce bardzo często do zobrazowania widma stosuje się charakterystykę logarytmiczną w zakresie amplitud. Dotyczy to przypadków, kiedy w widmie sygnału występują ważne składowe, lecz o bardzo małych amplitudach. Dodatkowo, okazuje się, że duże znaczenie praktyczne ma funkcja (przebieg), która powstaje po wyznaczeniu odwrotnej transformaty Fouriera z logarytmicznego widma sygnału. Określa się ją mianem cepstrum. Nazwa ta powstała drogą zmiany porządku grup liter w słowie spectrum, które oznacza widmo w języku angielskim. Jak łatwo zauważyć jest to funkcja czasu lecz okazuje się, że jej przebieg znacznie odbiega od kształtu segmentu sygnału wybranego do analizy i niesie szereg cennych informacji o sygnale.
Celem przygotowania się do dyskusji na temat czasowo-częstotliwościowych aspektów analizy warto przypomnieć, że w zapisie z użyciem iloczynu skalarnego transformata Fouriera przyjmuje postać:
![]() |
(2.15) |
Właściwości transformaty Fouriera weryfikuje się w obszarze takich zagadnień jak:
- Liniowość:
![]() |
(2.16) |
- Przesunięcie i skalowanie w czasie:
![]() |
(2.17) |
![]() |
(2.18) |
- Przesunięcie i skalowanie w częstotliwości
![]() |
(2.19) |
![]() |
(2.20) |
- Momenty:
![]() |
(2.21) |
- Splot:
![]() |
(2.22) |
![]() |
(2.23) |
W celu poparcia rozważań teoretycznych dotyczących wyznaczania widma sygnałów o ograniczonej energii, poniżej podano wybrane przykłady, które znajdują zastosowanie w analizie czasowo-częstotliwościowej.
|
|
a) | b) |
![]() |
(2.24) |
Dla T=0.5, otrzymuje się funkcję charakterystyczną określaną mianem B-spline rzędu I-go
Przykład 2: Impuls trójkątny: Tr(t) = r(t)*r(t)
Rys. 2.10. Impuls trójkątny
Widmo tego impulsu:
![]() |
(2.25) |
W tym przypadku dla T=0.5, otrzymuje tzw. B-spline rzędu II-go. Łatwo zauważyć, że kolejne funkcje typu spline otrzymuje się drogą realizacji splotu w dziedzinie czasu. Ich widma wyznacza się drogą iloczynu widm, a ściśle biorą podnoszenia widma do kwadratu. Dla przypadku rzędu II-go mamy:
![]() |
(2.26) |
Rys. 2.11. Impuls Gaussa i jego widmo
[1] Podana definicja dotyczy widma amplitudowego. Do analizy częstotliwościowej sygnałów losowych często stosuje się funkcję widmowej gęstości mocy. Jest ona definiowana jako transformata Fouriera funkcji autokorelacji [22].
[2] W ogólnym przypadku składowe widma nie muszą występować w związku harmonicznym między sobą.
[3] Pełny zakres widma (L) równoważny jest wartości częstotliwości próbkowania fp. Oś symetrii widma leży w połowie tego zakresu – fp/2.
(2.) |