Podręcznik

 

Przy czym, ponieważ idea Dyskretnej Transformaty Fouriera wymaga „spróbkowania widma”, sygnał odtworzony przyjmuje formę okresową, tzn. następuje powielenie na osi czasu fragmentu sygnału przyjętego do analizy (rys. 2.7).

 

 

Rys. 2.7.  Przykład sygnału odtworzonego z dyskretnego widma

Z rysunku wynika, że przypadkowość polegająca na „wycięciu z kontekstu” fragmentu sygnału (do analizy) objawiać się może w znaczącym odkształceniu przebiegu sygnału na krańcach przedziału po jego odtworzeniu. Znajduje to swoje odzwierciedlenie w widmie sygnału. Skutecznym sposobem ograniczenia niekorzystnego wpływu tego efektu na przebieg analizy jest uprzednie „odkształcenie” tego wycinka sygnału przez zastosowanie okna czasowego o kształcie odmiennym od prostokątnego. Znanych i stosowanych jest wiele różnych kształtów okien czasowych. Zwykle, kształt takiego okna w sposób łagodny tłumi do zera amplitudy próbek sygnału na krańcach przedziału. Nie ma recepty na dobór kształtu okna czasowego. Są jednak kryteria pozwalające ocenić właściwości okna w dziedzinie częstotliwości i dobrać okno stosownie do potrzeb. Często, choć nie jest to sposób zalecany, dobiera się je w sposób eksperymentalny, obserwując kształt widma.

W szczególnym przypadku, gdy mamy do czynienia z dyskretnym sygnałem okresowym o okresie N (L=N), do analizy możemy przeznaczyć wycinek będący wielokrotnością okresu. Wtedy mamy do czynienia z przypadkiem synchronicznej analizy widmowej, nie wymagającej użycia okien czasowych o wymyślnych kształtach.

Podsumowanie powyższych rozważań stanowi treść rysunku 2.8, na którym zamieszczono przykład analizy widmowej sygnału harmonicznego o częstotliwości f_h=Kf_p/L. Jak z niego wynika, w przypadku ogólnym, na całościowy obraz wyników analizy widmowej składają się trzy wskazane tam elementy: wynik analizy synchronicznej, efekt asynchroniczności, efekt kwantyzacji próbek. Na rysunku, dla przejrzystości, zamieszczono tylko obwiednie fragmentów widma leżących po obydwu stronach prążka głównego.

Rys. 2.8. Wpływ poszczególnych efektów na wyniki analizy widmowej

Obliczenia widma sygnału dokonuje się przy użyciu specjalnego programu do wyznaczania transformaty Fouriera. Program taki można napisać wykorzystując algorytm numeryczny, który powszechnie jest znany pod nazwą Szybkiej Transformaty Fouriera (STF). Częściej używana jest jego nazwa angielska: Fast Fourier Transform (FFT). Algorytm ten został tak skonstruowany, aby obliczenia prowadzone były jak najszybciej, a przetwarzanie sygnału mogło odbywać się na bieżąco (czyli w czasie rzeczywistym).

Podstawowy parametr analizy widmowej to rozdzielczość widma: Df. Jest ona równa ilorazowi zakresu częstotliwościowego, (równoważnego f_p) i liczby prążków widma L (rozmiar transformaty) (2.14):

 

$\Delta\ f=\frac{f_p}{L}$

(2.14)

Ta zależność umożliwia skuteczne wyskalowanie osi częstotliwości (zastąpienie indeksów próbek widma wartościami częstotliwości) – co nierzadko, z definicji leży w gestii użytkownika jednego z wymienionych wcześniej programów (i nie zawsze jest dla niego przyjazne)[3]. Dla wygody obliczeń, a ściślej, możliwości wykorzystania algorytmu FFT, przyjmuje się L=2ⁿ, np. 128, 256, 512, 1024 itd.

W praktyce bardzo często do zobrazowania widma stosuje się charakterystykę logarytmiczną w zakresie amplitud. Dotyczy to przypadków, kiedy w widmie sygnału występują ważne składowe, lecz o bardzo małych amplitudach. Dodatkowo, okazuje się, że duże znaczenie praktyczne ma funkcja (przebieg), która powstaje po wyznaczeniu odwrotnej transformaty Fouriera z logarytmicznego widma sygnału. Określa się ją mianem cepstrum. Nazwa ta powstała drogą zmiany porządku grup liter w słowie spectrum, które oznacza widmo w języku angielskim. Jak łatwo zauważyć jest to funkcja czasu lecz okazuje się, że jej przebieg znacznie odbiega od kształtu segmentu sygnału wybranego do analizy i niesie szereg cennych informacji o sygnale.

Celem przygotowania się do dyskusji na temat czasowo-częstotliwościowych aspektów analizy warto przypomnieć, że w zapisie z użyciem iloczynu skalarnego transformata Fouriera przyjmuje postać:

 

$X(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}{x(t)e^{-j\omega t}dt}=\int_{-\infty}^{+\infty}{x(t)\overline{e^{j\omega t}}dt=}\left\langle x(t),e^{j\omega t}\right\rangle$

(2.15)

Właściwości transformaty Fouriera weryfikuje się w obszarze takich zagadnień jak:

• Liniowość:       

$\begin{cases} x( t) =ax_{1}( t) +bx_{2}( t)\\ X( \omega ) =aX_{1}( \omega ) +bX_{2}( \omega ) \end{cases}$

(2.16)

• Przesunięcie i skalowanie w czasie:

$x_{0}( t) :=x( t-t_{0})\rightarrow X_{0}( \omega ) =X( \omega ) e^{-j\omega _{0} t_{0}}$

(2.17)

$x_{a}( t) :=x( at)\rightarrow X_{a}( \omega ) =\frac{1}{|a|} X\left(\frac{\omega }{a}\right)$

(2.18)

• Przesunięcie i skalowanie w częstotliwości

$X_{0}( \omega ) :=X( \omega -\omega _{0})\rightarrow x_{0}( t) =x( t) e^{-j\omega _{0} t}$

(2.19)

$X_{a}( \omega ) :=X( a\omega )\rightarrow x_{a}( t) =\frac{1}{|a|} x\left(\frac{t}{a}\right)$

(2.20)

• Momenty:

$M_n:=\int_{-\infty}^{+\infty}{t^nx(t)dt}\Rightarrow\ M_n=(-j)^{-n}\left.\ \frac{d^nX(\omega)}{d\omega^n}\right|_{\omega=0}$

(2.21)

• Splot:

$x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}{x_1(\tau)x_2(t-\tau)d\tau}$

(2.22)

$x(t)=x_1(t)\ast\ x_2(t) \Rightarrow X(\omega)=X_1(\omega)X_2(\omega)$

(2.23)

 

W celu poparcia rozważań teoretycznych dotyczących wyznaczania widma sygnałów o ograniczonej energii, poniżej podano wybrane przykłady, które znajdują zastosowanie w analizie czasowo-częstotliwościowej.

Przykład 1 Iimpuls prostokątny : r(t)=u(t+T)–u(t–T)

 

$R(\omega)=\frac{2Tsin{(}\omega T)}{\omega T}$

(2.24)

 

Dla T=0.5,  otrzymuje się funkcję charakterystyczną określaną mianem B-spline rzędu I-go $r\left(t\right)=r\left(t-0.5\right)=\chi_{\left[0.1\right)}\left(t\right)$

 

Przykład 2: Impuls trójkątny: T_r(t) = r(t)*r(t)

 

Rys. 2.10. Impuls trójkątny

Widmo tego impulsu:

 

$T_r\left(\omega\right)=4T^2\frac{{sin}^2{(}\omega T)}{(\omega T)^2}$

(2.25)

 

W tym przypadku dla T=0.5, otrzymuje tzw. B-spline rzędu II-go. Łatwo zauważyć, że kolejne funkcje typu spline otrzymuje się drogą realizacji splotu w dziedzinie czasu. Ich widma wyznacza się drogą iloczynu widm, a ściśle biorą podnoszenia widma do kwadratu. Dla przypadku rzędu II-go mamy:

 

$t_r(t)=r(t)\ast\ r(t),\begin{matrix}&\Rightarrow&\\\end{matrix}T_r(\omega)=R(\omega)R(\omega)=[R(\omega)]2$

(2.26)

---