Podręcznik

Jak skonstruować predyktor o wysokim zysku predykcji? Aby rozpatrzyć to zagadnienie, oddzielimy predyktor od układu ADPCM, przyjmując, że do przewidywania próbki sygnału wejściowego $x_n$ możemy wykorzystać poprzednie próbki tego samego sygnału  $x_{n-1}^\ ,\ x_{n-2}$,$\ldots,x_{n-p}$ – rys.16.

Rysunek 16 Predykcja próbki sygnału

Predyktory wykorzystywane w koderach mowy należą do predyktorów liniowych, tzn. predykcja $x_n^p$ jest kombinacją liniową poprzednich próbek sygnału. 
Najprostszy predyktor wykorzystuje wprost wartość poprzedniej próbki $x_n^p=x_{n-1}$ . Lepszym rozwiązaniem jest użycie poprzedniej próbki pomnożonej przez współczynnik predykcji $x_n^p=a_1x_{n-1}^\ $. Ogólnie predyktor liniowy wyraża się wzorem: 

Współczynniki predykcji $a_1, a_2,\ldots,a_p$  obliczamy na minimum mocy błędu predykcji: 

gdzie E – operator uśredniania, który w praktyce jest zastępowany obliczaniem wartości średniej w bloku próbek. 
Przyjmijmy, że znamy współczynniki autokorelacji sygnału:

Współczynnik $R_0$ jest równy mocy sygnału: $R_0=E\left(x_n^2\right)=\sigma_x^2$. 
Na początku obliczmy zysk predykcji najprostszego predyktora opisanego równaniem  $x_n^p=x_{n-1}^\ $.

$\sigma_\varepsilon^2=E\left((x_n-x_{n-1})^2\right)=E\left(x_n^2\right)-2E\left(x_nx_{n-1}\right)+E\left(x_{n-1}^2\right)=2R_0-2R_1$

Jeżeli  $\frac{R_1}{R_0}>0.5$, wówczas $G_p>1$ i stosowanie tego predyktora jest korzystne. Jeżeli $\frac{R_1}{R_0}$, wówczas jakość sygnału na wyjściu układu ADPCM jest niższa niż  ta, jaką oferuje sam kwantyzator. 
Zajmijmy się teraz predyktorem ze współczynnikiem predykcji:  $x_n^p=a_1x_{n-1}$ . Próbka sygnału błędu predykcji wynosi:  $\varepsilon_n=x_n-x_n^p=x_n-a_1x_{n-1}$, a moc tego sygnału

$\sigma_\varepsilon^2=E\left((x_n-a_1x_{n-1})^2\right)=E\left(x_n^2\right)-2a_1E\left(x_nx_{n-1}\right)+(a_1)^2E\left(x_{n-1}^2\right)=R_0-2a_1R_1+(a_1)^2R_0$

Minimum mocy błędu predykcji obliczymy, różniczkując  $σ_ε^2$  względem  $a_1$ i przyrównując do zera:

Zysk dla optymalnego współczynnika predykcji  $a_1=\frac{R_1}{R_0}$ wynosi 

Jest on większy od 1, gdyż współczynniki autokorelacji spełniają nierówność $\left|R_1\right|\le R_0$ . Wartość równą 1 osiąga dla nieskorelowanego sygnału, dla którego $R_1=0$. Wówczas również $a_1=0$. Predyktor nie jest w stanie przewidzieć próbki nieskorelowanego sygnału, w związku z tym wyłącza się. 
Podobnie postępujemy w ogólnym przypadku, gdy predyktor ma p współczynników i jest opisany wzorem (20). Do wyznaczenia współczynników predykcji będą potrzebne współczynniki autokorelacji $R_0,R_1,\ldots,R_p$. Współczynniki predykcji są rozwiązaniem układu równań liniowych [1]. Np., dla p=3 jest to następujący układ równań: 

Wykonując symulacje w ramach ćwiczenia laboratoryjnego „Kwantyzacja skalarna” można będzie porównać działanie kodera ADPCM z działaniem samego kwantyzatora. Różnica wartości SNR[dB] to zysk predykcji wyrażony w decybelach (wzór 19). Zysk predykcji zależy od predyktora (jest tym większy im więcej poprzedzających próbek wykorzystamy do przewidywania próbki bieżącej). W głównej jednak mierze zależy od samego sygnału. W przypadku sygnału nieskorelowanego predykcja nie jest możliwa. Podstawiając zerowe wartości współczynników autokorelacji (poza wartością $R_0$, która jest mocą sygnału) do równania (26) otrzymamy zerowy wektor prawej strony i zerowe wartości współczynników predykcji. Predykcja $x_n^p=0$  i zysk wynosi 1 (w decybelach 0). Z kolei sygnał o wartości stałej jest bezbłędnie przewidywalny z wykorzystaniem predykcji $x_n^p=x_{n-1}$ . Tu zysk jest nieskończony.  Bezbłędnie przewidywalny jest też sygnał harmoniczny, wystarczy znać 2 poprzednie próbki, aby obliczyć kolejną próbkę jako kombinację liniową tych 2 poprzednich. Będzie się o tym można przekonać, symulując koder ADPCM z predyktorem o co najmniej 2 współczynnikach predykcji. Należy się wówczas spodziewać wysokich wartości SNR.