Podręcznik
5. Metody kompresji sygnałów
5.1. Nierównomierna kwantyzacja skalarna
Ogólna teoria kwantyzacji skalarnej stanowi punkt wyjścia do opracowania metod kwantyzacji wektorowej [9]. Występuje tu istotna współzależność.
N - punktowy kwantyzator skalarny (jednowymiarowy) definiuje się jako odwzorowanie typu:
![]() |
(5.1) |
gdzie  stanowi nieskończony zbiór liczb rzeczywistych zaś C spełnia relację:
C º {<i>c</i><sub>1</sub>, <i>c</i><sub>2</sub>, <i>c</i><sub>3</sub>, ...,<i>c</i><sub>N</sub>} Ì Â, N<¥ | (5.2) |
i stanowi słownik kwantyzatora o rozmiarze N (|C| = N). Elementy ci tego słownika są odpowiednikami poziomów kwantyzacji.
Podstawowy parametr tego kwantyzatora, rozdzielczość: r = log2N, specyfikuje średnią liczbę bitów niezbędnych do zakodowania wartości odpowiadających wszystkim poziomom kwantyzacji.
Konsekwencją rozmieszczenia na osi  poziomów kwantyzacji ci jest powstanie partycji Ri, czyli przedziałów kwantyzacji, o krańcach [xi-1, xi) zwanych często punktami granicznymi. Przy czym, zgodnie z definicją, Ri określa się jako:
Ri = {x</span></span></span><span style="font-size:12.0pt"><span style="line-height:115%"><span style="font-family:Symbol">Î</span></span></span> <span style="font-size:12.0pt"><span style="line-height:115%"><span style="font-family:Symbol">Â</span></span></span><span style="font-size:12.0pt"><span style="line-height:115%"><span style="font-family:"Calibri",sans-serif">: Q(<i>x</i>) = c<sub>i</sub>} | (5.3) |
Ponadto: È Ri = Â, oraz Ri Ç Rj = Æ, dla i ¹ j. Zatem pełny opis kwantyzatora skalarnego daje równanie:
Q = {<i>c</i><sub>i</sub>, R<sub>i</sub>}, i = 1,2,3,...,N | (5.4) |
Osobnego potraktowania w analizie teoretycznej wymagają krańcowe punkty skali przetwarzania: x0 oraz xN, określające krańcowe przedziały kwantyzacji: R0 i RN. Dla przypadku gdy x0 = ¥ oraz xN = ¥ przedziały te noszą nazwę przepełnionych (w odróżnieniu od ziarnistych). W tym przypadku zakres pracy kwantyzatora definiuje się jako: B = xN-1 - x1. Zwykle x0, xN < ¥, B = xN - x0.
Kwantyzator nazywamy regularnym, gdy spełniona jest nierówność:
x0 <c1 < x1 <c2 <... < cN < xN | (5.5) |
zaś równomiernym gdy ponadto: (xn - xn-1) = const.
Przypadek cn = (xn-1 + xn)/ 2 występuje w technice przetwarzania analogowo-cyfrowego powszechnie stosowanego w metrologii i równoważny jest potocznemu rozumieniu kwantyzatora (w ogólności nieoptymalnego).
Zakładając bardzo dużą wartość rozdzielczości kwantyzatora (r) dla sygnału o zerowej składowej stałej (symetria zmienności) otrzymuje się następującą zależność na wartość stosunku sygnału do szumu [9]:
![]() |
(5.6) |
Z ostatniego równania wynika „żelazna” reguła, że użycie dodatkowego bitu w procesie kwantyzacji powoduje przyrost stosunku sygnał/szum o ok. 6dB.
Problem konstrukcji optymalnych kwantyzatorów jest niezwykle zajmujący głównie z powodu ich „wyjątkowej” nieliniowości. Dekompozycja układu kwantyzatora na dwie części: koder i dekoder znacznie ułatwia analizę (rys.5.1).
Rys. 5.1 Schemat blokowy kwantyzatora (dekompozycja)
Koder realizuje nieliniową operację (odwzorowanie): , zaś dekoder:
, gdzie Á = {1,2,3,...,N} - zbiór indeksów, a C = {<i>c<sub>i</sub></i>} - słownik kwantyzatora. Oznacza to, że:
![]() |
(5.7) |
Symbolika ta odpowiada rozumieniu potocznemu procesu kwantyzacji, w którym i oznacza numer przedziału kwantyzacji.
Po przyjęciu założenia, że jeden spośród dwu elementów kwantyzatora ma parametry ustalone, stosunkowo łatwo podać zasady optymalizacji drugiego. Wynika stąd, że proces projektowania może być dokonany w trybie iteracyjnym: dobór optymalnego dekodera dla kodera oraz dobór optymalnego kodera dla dekodera. Obydwa procesy mogą być zdefiniowane w sposób rozłączny.