Podręcznik: Nierównomierna kwantyzacja skalarna

5. Metody kompresji sygnałów

5.1. Nierównomierna kwantyzacja skalarna

Ogólna teoria kwantyzacji skalarnej stanowi punkt wyjścia do opracowania metod kwantyzacji wektorowej [9]. Występuje tu istotna współzależność.

N - punktowy kwantyzator skalarny (jednowymiarowy) definiuje się jako odwzorowanie typu:

$Q:\mathfrak{R}\buildrel\rightarrow\over\rightarrow n\ a\ C$

(5.1)

gdzie Â stanowi nieskończony zbiór liczb rzeczywistych zaś C spełnia relację:

C º {c1, c2, c3, ...,cN} Ì Â, N<¥

(5.2)

i stanowi słownik kwantyzatora o rozmiarze N (|C| = N). Elementy c_i tego słownika są odpowiednikami poziomów kwantyzacji.

Podstawowy parametr tego kwantyzatora, rozdzielczość: r = log₂N, specyfikuje średnią liczbę bitów niezbędnych do zakodowania wartości odpowiadających wszystkim poziomom kwantyzacji.

Konsekwencją rozmieszczenia na osi Â poziomów kwantyzacji c_i jest powstanie partycji R_i, czyli przedziałów kwantyzacji, o krańcach [x_i-1, x_i) zwanych często punktami granicznymi. Przy czym, zgodnie z definicją, R_i określa się jako:

R_i = {xÎ Â: Q(x) = ci}

(5.3)

Ponadto: È R_i = Â, oraz R_iÇ R_j = Æ, dla i ¹ j. Zatem pełny opis kwantyzatora skalarnego daje równanie:

Q = {ci, Ri}, i = 1,2,3,...,N

(5.4)

Osobnego potraktowania w analizie teoretycznej wymagają krańcowe punkty skali przetwarzania: x₀ oraz x_N, określające krańcowe przedziały kwantyzacji: R₀ i R_N. Dla przypadku gdy x₀ = ¥ oraz x_N = ¥ przedziały te noszą nazwę przepełnionych (w odróżnieniu od ziarnistych). W tym przypadku zakres pracy kwantyzatora definiuje się jako: B = x_N-1 - x₁. Zwykle x₀, x_N < ¥, B = x_N - x₀.

Kwantyzator nazywamy regularnym, gdy spełniona jest nierówność:

x₀ <c₁ < x₁ <c₂ <... < c_N < x_N

(5.5)

zaś równomiernym gdy ponadto: (x_n - x_n-1) = const.

Przypadek c_n = (x_n-1 + x_n)/ 2 występuje w technice przetwarzania analogowo-cyfrowego powszechnie stosowanego w metrologii i równoważny jest potocznemu rozumieniu kwantyzatora (w ogólności nieoptymalnego).

Zakładając bardzo dużą wartość rozdzielczości kwantyzatora (r) dla sygnału o zerowej składowej stałej (symetria zmienności) otrzymuje się następującą zależność na wartość stosunku sygnału do szumu [9]:

$SNR\approx6.02r+10lg{(}3\beta_x^2)$

(5.6)

Z ostatniego równania wynika „żelazna” reguła, że użycie dodatkowego bitu w procesie kwantyzacji powoduje przyrost stosunku sygnał/szum o ok. 6dB.

Problem konstrukcji optymalnych kwantyzatorów jest niezwykle zajmujący głównie z powodu ich „wyjątkowej” nieliniowości. Dekompozycja układu kwantyzatora na dwie części: koder i dekoder znacznie ułatwia analizę (rys.5.1).

Rys. 5.1 Schemat blokowy kwantyzatora (dekompozycja)

Koder realizuje nieliniową operację (odwzorowanie): K:R→naI , zaś dekoder: D:I→naC , gdzie Á = {1,2,3,...,N} - zbiór indeksów, a C = {ci} - słownik kwantyzatora. Oznacza to, że:

$K(x) = i, D(i) = c_i \ oraz \ Q(x) = c_i$

(5.7)

Symbolika ta odpowiada rozumieniu potocznemu procesu kwantyzacji, w którym i oznacza numer przedziału kwantyzacji.

Po przyjęciu założenia, że jeden spośród dwu elementów kwantyzatora ma parametry ustalone, stosunkowo łatwo podać zasady optymalizacji drugiego. Wynika stąd, że proces projektowania może być dokonany w trybie iteracyjnym: dobór optymalnego dekodera dla kodera oraz dobór optymalnego kodera dla dekodera. Obydwa procesy mogą być zdefiniowane w sposób rozłączny.