Podręcznik

Podstawowymi zależnościami, od których rozpoczyna się jakiekolwiek rozważania na temat propagacji fal są równania Maxwella. Nazywano je od nazwiska uczonego Jamesa Clerka Maxwella, który w 1861 roku sformułował je i zebrał w integralną całość, korzystając z wiedzy innych uczonych, takich jak Faraday, Gauss i Ampère. Równania przedstawiają zależności pomiędzy zmianami pól elektrycznego i magnetycznego w czasie i przestrzeni.

Zanim wprowadzone zostaną równania należy wymienić wielkości i parametry charakteryzujące pole elektromagnetyczne. W nawiasach podane zostały jednostki.

$\overrightarrow{E}$ – wektor natężenia pola elektrycznego $\left[ \frac{V}{m} \right]$

$\overrightarrow{H}$ – wektor natężenia pola magnetycznego $\left[ \frac{A}{m} \right]$

$\overrightarrow{D}$ – wektor indukcji elektrycznej $\left[ \frac{As}{m^2} \right]$

$\overrightarrow{B}$ – wektor indukcji magnetycznej $\left[ \frac{Vs}{m^2} \right]$

$\overrightarrow{j}$ – wektor gęstości prądu $\left[ \frac{A}{m^2} \right]$

$\rho$ – gęstość objętościowa ładunku $\left[ \frac{C}{m^3} \right]$

$\nabla$ – operator dywergencji

$\nabla ×$ – operator rotacji

$\mu_0$ – przenikalność magnetyczna próżni $\left[ \frac{Vs}{Am} \right]$

$\varepsilon _0$ – przenikalność elektryczna próżni $\left[ \frac{A^2s^4}{m^3kg} \right]$

Pierwsze równanie przedstawia prawo Faradaya, i mówi o tym, że zmienne w czasie pole magnetyczne wytwarza pole elektryczne. Rotacja wektora natężenia pola elektrycznego jest równa co do wartości szybkości zmian w czasie wektora indukcji magnetycznej. Czyli, zmiany indukcji magnetycznej powodują powstanie wirowego pola elektrycznego. Równanie to opisuje zjawisko indukcji elektromagnetycznej, gdzie wektor natężenia pola elektrycznego jest w każdym punkcie przestrzeni prostopadły do wektora indukcji magnetycznej.

$\nabla × \vec{E} = \frac{-\delta\vec{B}}{\delta t} \qquad$(1.1)

Równanie drugie to prawo Ampère'a rozszerzone przez Maxwella. Przedstawia jak przepływający prąd oraz zmienne pole elektryczne wytwarzają wirowe pole magnetyczne. Prawa strona równania zawiera dwa składniki: wektor gęstości prądu elektrycznego, który jest sumą wektora gęstości prądu przewodzenia wynikającego z ruchu ładunków w materiale i wektora gęstości prądu unoszenia polegającego na ruchu naładowanych ciał. Drugi składnik oznacza prąd przesunięcia związany ze zmianami indukcji elektrycznej w czasie. Pomijając prąd przesunięcia stwierdza się, że przepływ prądu elektrycznego powoduje powstanie wirowego pola magnetycznego o rotacji równej gęstości tego prądu. Prąd elektryczny jest więc źródłem wektorowym pola magnetycznego. Gdy występuje tylko prąd przesunięcia to drugie równanie Maxwella wyraża zjawisko indukcji magnetoelektrycznej polegające na indukowaniu przez zmienne pole indukcji elektrycznej zmiennego pola magnetycznego, przy czym wektor natężenia pola magnetycznego jest w każdym punkcie przestrzeni prostopadły do wektora indukcji elektrycznej.

$\nabla × \vec{B} = \mu_0 \left( \vec{j}+\varepsilon_0 \frac{\delta\vec{E}}{\delta t} \right) \qquad$(1.2)

Z powyżej przedstawionych dwóch pierwszych równań Maxwella oznaczonych odpowiednio (1.1) i (1.2) wynika, że zmiany w czasie indukcji magnetycznej powodują powstanie wirowego pola elektrycznego, a zmienna w czasie indukcja elektryczna wytwarza wirowe pole magnetyczne. Nie można rozłączyć od siebie pola elektrycznego i magnetycznego. Dlatego mówimy o polu elektromagnetycznym. Pola te oczywiście mogą występować niezależnie, tylko wtedy gdy nie zmieniają się w czasie. Zmiany pola elektrycznego i magnetycznego (prostopadłych wzajemnie) rozchodzą się z prędkością światła, w kierunku prostopadłym do kierunku obydwu tych pól. Ponadto drgania wektora elektrycznego i magnetycznego są w tej samej fazie.

Następne z równań to prawo Gaussa dla elektryczności. Wiąże ono wypadkowy strumień elektryczny z całkowitym ładunkiem elektrycznym objętym powierzchnią Gaussa. Mamy tu do czynienia z niezerową dywergencją co oznacza, że pole nie jest bezźródłowe. Dywergencja wektora indukcji elektrycznej równa jest objętościowej gęstość ładunku elektrycznego. Skalarnym źródłem pola indukcji elektrycznej są ładunki elektryczne.

$\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \qquad$(1.3)

Kolejne z równań, to prawo Gaussa dla magnetyzmu. Łączy ono wypadkowy strumień magnetyczny z całkowitym ładunkiem magnetycznym objętym powierzchnią Gaussa. Pole magnetyczne jest bezźródłowe, linie pola magnetycznego są zamknięte, brak jest swobodnych ładunków magnetycznych. Pole indukcji magnetycznej jest bezźródłowe.

$\nabla \cdot \vec{B} = 0 \qquad$(1.4)

Ostatnim z równań jest prawo zachowania ładunku, które mówi, że dywergencja gęstości prądu przewodzenia równa jest szybkości zmian w czasie gęstości objętościowej niezrównoważonego ładunku swobodnego. Skalarnym źródłem pola gęstości prądu przewodzenia jest zmiana ładunku w czasie.

$\nabla \cdot \vec{J} = \frac{-\delta\rho}{\delta t} \qquad$(1.5)

Pomiędzy wprowadzonymi powyżej wektorami $\vec{E}$, $\vec{H}$, $\vec{D}$, $\vec{B}$, i $\vec{J}$ zachodzą zależności, które określane są jako równania materiałowe.

$\vec{D} = \varepsilon_0\varepsilon_r\cdot \vec{E}\qquad$(1.6)

$\vec{B} = \mu_0\mu_r\cdot \vec{H}\qquad$(1.7)

$\vec{J} = \sigma\vec{E} \qquad$(1.8)

gdzie $\mu$, $\varepsilon$ i $\sigma$ oznaczają parametry materiałowe ośrodka:

$\mu_r$ – względna przenikalność magnetyczna (liczba bezwymiarowa);

$\varepsilon_r$ – względna przenikalność elektryczna (liczba bezwymiarowa);

$\sigma$ – konduktywność ośrodka $\left[ \frac{1}{\Omega m} \right]$.

Przenikalność elektryczna i konduktywność ośrodka charakteryzuje dielektryki, a przenikalność magnetyczna – magnetyki. Przenikalność elektryczna to miara zdolności dielektryka do osłabiania zewnętrznego pola elektrycznego, jak również miara zdolności do koncentracji energii pola elektrycznego.

Jeśli przenikalność elektryczna i magnetyczna oraz konduktywność ośrodka nie zależą od natężeń pól, taki ośrodek nazywa się ośrodkiem liniowym. W przypadku kiedy chociaż jeden z wymienionych powyżej parametrów ośrodka zależy od natężenia pola to ośrodek nazywa się nieliniowym. Jeżeli konduktywność ośrodka wynosi zero mówimy o ośrodku bezstratnym. O tym czy ośrodek jest jednorodny czy niejednorodny świadczą jego parametry, które odpowiednio nie zależą lub zależą od współrzędnych punktu. Natomiast w ośrodkach dyspersyjnych przenikalność elektryczna, przenikalność magnetyczna i/lub konduktywność ośrodka zależą od częstotliwości.

Jeżeli przenikalność elektryczna i magnetyczna oraz konduktywność ośrodka są niezależne od kierunku pól to ośrodek nazywamy izotropowym. Odpowiednie wektory występujące w poszczególnych równaniach materiałowych są do siebie równoległe. W przeciwnym przypadku kiedy przenikalność elektryczna i magnetyczna oraz konduktywność ośrodka są zależne od kierunku pól to, to mówimy o istnieniu ośrodka anizotropowego. Ponadto, prędkość światła w próżni związana jest z jej parametrami materiałowymi i wyraża się następującym wzorem:

$c = \frac{1} {\sqrt{\varepsilon_0\cdot \mu_0}} \approx 3 \cdot 10^8 \left[ \frac{m}{s} \right]\qquad$(1.9)

gdzie

$\varepsilon_0 = \frac{10^{-9}}{36\pi} \left[ \frac{F}{m} \right]$;

$\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7} \left[ \frac{H}{m} \right]$.

Ośrodki ze względu na ich własności możemy podzielić na próżnię i ośrodki materialne, gdzie tylko próżnia jest ośrodkiem bezstratnym. W przypadku gdy ośrodek jest liniowy, izotropowy, niedyspersyjny i jednorodny to jego przenikalność elektryczna i magnetyczna wyrażona jest liczbami stałymi i rzeczywistymi.

Dla dowolnego ośrodka materialnego prędkość propagacji $v_p$ jest mniejsza niż prędkość rozchodzenia się światła w próżni i wyraża się poniższą zależnością:

$v_p = \frac{1} {\sqrt{\varepsilon_0 \cdot \mu_0} \cdot \sqrt{\varepsilon_r \cdot \mu_r} } = \frac{c} {\sqrt{\varepsilon_r \cdot \mu_r}} \qquad$(1.10)

jeżeli uwzględnimy, że współczynnik załamania n wyraża się następująco

$n = \sqrt{\varepsilon_r \cdot \mu_r} \qquad$(1.11)

to wtedy po podstawieniu powyższego wzoru (1.11) do wzoru (1.10) otrzymamy, że prędkość propagacji wynosi:

$\nu_p = \frac{c}{n} \qquad$(1.12)

Bardzo ważnym parametrem falowym w dziedzinie przesyłania sygnałów radiowych jest impedancja falowa Z₀, którą wyraża się jako pierwiastek ze stosunku przenikalności magnetycznej i elektrycznej i ma ona wymiar ohma, co przedstawiono poniżej:

$Z_0 = \sqrt { \frac{\mu_r}{\varepsilon_r} \frac{\mu_0}{\varepsilon_0} } \qquad$(1.13)

Podstawiając podane powyżej wartości współczynników przenikalności elektrycznej i magnetycznej dla próżni otrzymujemy:

$Z_0 = \sqrt { \frac{\mu_0}{\varepsilon_0} } = 120 \pi \approx 377 \Omega \qquad$(1.14)

Dla prostoty dalszych rachunków wprowadza się bezwzględne współczynniki przenikalności dielektrycznej i magnetycznej.

$\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r \quad$(1.15)

$\mu = \mu_0 \mu_r \quad$(1.16)

Dla bezstratnej linii przesyłowej impedancja falowa może być wyrażona następująco:

$Z_0 = \sqrt { \frac{L}{C} } \qquad$(1.17)

natomiast prędkość propagacji fali wynosi:

​$v_p = \sqrt { \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}} } \qquad$​( 1.17)

gdzie

L – indukcyjność linii przesyłowej [H];

C – pojemność linii przesyłowej [F].

W przypadku kiedy mamy do czynienia z ośrodkiem liniowym, izotropowym, niedyspersyjnym i jednorodnym, przenikalność dielektryczna i magnetyczna są stałymi liczbami rzeczywistymi.

Przejdźmy teraz do równań Maxwella w notacji zespolonej, w przestrzeni w której nie ma ładunków.

$\vec{J} = \rho = 0 \qquad$(1.18)

$\nabla \cdot \vec{E} = 0 \qquad$(1.19)

$\nabla \times \vec{E} = - j\omega\mu\vec{H} \qquad$(1.20)

$\nabla \times \vec{H} = j\omega\varepsilon\vec{E} \qquad$(1.21)

$\nabla \cdot \vec{H} = 0 \qquad$(1.22)

W idealnym przewodniku pole elektryczne jest równe zero, ponadto jest prostopadłe do powierzchni przewodnika i indukuje na powierzchni ładunek elektryczny, natomiast pole magnetyczne jest styczne do granicy przewodnika i indukuje na jego powierzchni prąd przewodzenia o gęstości J. Co pokazano na poniższym rysunku.

Rysunek 2 Rozkład pól na granicy dwóch ośrodków

Jeżeli mamy do czynienia z nieograniczoną przestrzenią wypełnioną ośrodkiem liniowym, izotropowym, niedyspersyjnym, jednorodnym i bezstratnym oraz nie występują prądy i ładunki, wtedy po przekształceniach równań Maxwella otrzymuje się równania falowe w następującej postaci:

$\nabla^2\vec{E}-\mu\varepsilon \frac{\delta^2\vec{E}}{\delta t^2} = 0 \qquad$(1.23)

$\nabla^2\vec{H}-\mu\varepsilon \frac{\delta^2\vec{H}}{\delta t^2} = 0 \qquad$(1.24)

Równania falowe są równaniami różniczkowymi, cząstkowymi drugiego rzędu i opisują ruch falowy. Przekształcając równanie falowe dla dielektryka stratnego do postaci zespolonej uzyskujemy równania Helmholtza:

$\nabla^2\vec{E} + \omega^2\mu\varepsilon\vec{E} = 0 \qquad$(1.25)

$\nabla^2\vec{H} + \omega^2\mu\varepsilon\vec{H} = 0 \qquad$(1.26)

W równaniach można wprowadzić zmienną zespoloną $\gamma$ zwaną współczynnikiem propagacji, mającą fundamentalne znaczenie w opisie zjawiska propagacji fali.

$\gamma^2\ = j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon) \qquad$(1.27)

Uwzględniając powyższy zapis oraz równania (1.26) i (1.27) otrzymujemy:

$\nabla^2\vec{E} - \gamma^2\vec{E} = 0 \qquad$(1.28)

$\nabla^2\vec{H} - \gamma^2\vec{H} = 0 \qquad$(1.30)

Przy założeniu, że fala elektromagnetyczna rozchodzi się wzdłuż osi z, wektory pola elektrycznego E_T i magnetycznego H_T leżą w płaszczyźnie xy, są niezależne od x i y, wtedy równania Helmholtza przyjmują postać:

$\frac{\delta^2E_T} {\delta z^2} - \gamma^2E_T = 0 \qquad$(1.29)

$\frac{\delta^2H_T} {\delta z^2} - \gamma^2H_T = 0 \qquad$(1.30)

Rozwiązania równań (1.31) i (1.32) mają dwuczłonową postać:

$E_T(z) = E_{p}^+e^{-\gamma z} + E^-_We{\gamma z} \qquad$(1.31)

$H_T(z) = H_{p}^+e^{-\gamma z} + H^-_We{\gamma z} \qquad$(1.32)

Fala płaska jest falą typu TEM. To znaczy, że pole elektryczne i magnetyczne leży w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku propagacji fali, czyli E_z = 0 i H_z = 0. Składowe pola E i H fali płaskiej w bezstratnym ośrodku przedstawiono na poniższym rysunku.

Rysunek 3 Rozkład pola elektromagnetycznego dla fali TEM w dielektryku bezstratnym (w próżni)

Zachowanie się fali elektromagnetycznej opisuje współczynnik propagacji  i zapisuję się go następująco:

$\gamma = \alpha + \beta\qquad$(1.33)

gdzie

$\alpha = Re \left\{ \sqrt{j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon)} \right\}$;

$\beta = Im \left\{ \sqrt{j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon)} \right\} = Im \left\{ j\omega \sqrt{\mu\varepsilon} \sqrt{1 + \frac{\sigma}{j\omega\varepsilon} } \right\}$;

$\alpha$ – stała tłumienia;

$\beta$ – stała fazową zależna od ośrodka.

Natomiast impedancja falowa Z_f – charakteryzuje ośrodek.

$Z_f = \frac{E_T}{H_T} = \sqrt{ \frac{j\omega\mu}{\sigma + j\omega\varepsilon} } \qquad$(1.34)

Pola E i H dla sygnału harmonicznego wyraża się następująco

$E_x(z) = E_0e^{-\gamma z} \qquad$(1.35)

$H_x(z) = H_0e^{-\gamma z} \qquad$(1.36)

i podstawiając do powyższych równań współczynnik propagacji zgodnie z zależnością (1.35) otrzymujemy:

$E_x(z) = E_0e^{-az} e^{-j\beta z} \qquad$(1.37)

$H_y(z) = H_0e^{-az} e^{-j(\beta z + \phi)} \qquad$(1.38)

Innymi wielkościami, które opisują własności fali są prędkość fazowa fali płaskiej – prędkość płaszczyzny stałej fazy, którą dla próżni oznaczamy literą c oraz prędkość grupowa fali płaskiej – prędkość poruszania się obwiedni. Co wyrażają następujące równania:

$v_f = \frac{\omega}{\beta} \qquad$(1.39)

$v_f = c = \frac{1} {\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}} \qquad$(1.40)

$v_g = \frac{\delta\omega} {\delta\beta} \qquad$(1.41)

Rozwiązania równań Maxwella maja różną postać, w zależności od warunków brzegowych. Zwykle rozwiązań jest nieskończenie wiele, istnieje nieskończenie wiele modów o rozmaitej konfiguracji pola E i H.

Oprócz wymienionej wyżej fali TEM istnieje fala typu TM (zwana też E): dla której E_z = 0, H_z = 0, – pole magnetyczne leży w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku propagacji fali; fala typu TE (zwana też H): dla której E_z ≠ 0, H_z ≠ 0 – pole elektryczne leży w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku propagacji fali; oraz fala typu EH: dla której E_z ≠ 0, H_z ≠ 0.