Podręcznik

Następnym typem dyspersji jest dyspersja chromatyczna. Zjawisko to polega na zależności prędkości grupowej od częstotliwości (czyli czas propagacji zależy od długości fali). Współczynnik dyspersji chromatycznej D_c związany jest z czasem propagacji.

$D_c = \frac{d\tau(\lambda)}{d\lambda} \qquad$(4.3)

Współczynnik dyspersji, mówi o tym, o ile pikosekund poszerzy się impuls o szerokości widmowej 1 nanometra po transmisji na odległość 1 kilometra.

Dwa identyczne impulsy o dwóch różnych długościach fali różniących się o $\delta\lambda$ po propagacji na odległość L są względem siebie opóźnione o $\delta\tau$.

$\delta\tau = | D_c | L\delta\lambda \qquad$(4.4)

W miarę propagacji impuls światła o szerokości $\sigma_\lambda$ o poszerza się do szerokości $\sigma_\tau$:

$\sigma_\tau = | D_c | \sigma_\lambda L \qquad$(4.5)

Efekt dyspersji będzie objawiał się rozmywaniem i zachodzeniem na siebie impulsów.

Dyspersja chromatyczna jest zatem sumą dyspersji materiałowej i dyspersji falowodowej.

Szkło z którego wykonywane są światłowody jest materiałem dyspersyjnym czyli jego własności optyczne zależą od długości fali. Współczynnik załamania płaszcza, jak i rdzenia zależy od pulsacji . Zatem wartość prędkości grupowej i wartość prędkości fazowej fali płaskiej rozchodzącej się w nieograniczonym ośrodku, w przypadkach gdy wypełniony jest ośrodkiem dyspersyjnym, jest różna. Koniecznym jest w takim przypadku zdefiniowanie obok współczynnika załamania n także grupowego współczynnika załamania N. Oba współczynniki są funkcją częstotliwości. Związek pomiędzy nimi pokazuje wzór:

$N = n + \omega\frac{\delta n}{\delta \omega} \qquad$(4.6)

Na poniższym wykresie przedstawiono zależność współczynników załamania n i N od długości fali dla czystego szkła. Jak widać dyspersja materiałowa to zależność grupowych współczynników załamania materiałów (z których wykonano światłowód) od częstotliwości.

Rysunek 15 Zależność współczynników załamania n i N od długości fali dla SiO₂.

Współczynnik dyspersji materiałowej $D_\lambda$ liczony jest z opóźnienia $d\tau(\omega)$ fali płaskiej dla impulsu o częstotliwości $\omega_0$ i $\omega_0 + d\omega$,

$d\tau(\omega) = L\left[ \frac{1}{v_g(\omega_o)} - \frac{1}{v_g(\omega_o + d\omega)} \right] \qquad$(4.7)

i po przekształceniach otrzymuje się zależność opisującą współczynnik dyspersji materiałowej:

$D_\lambda = -\frac{\lambda}{c} \frac{d^2n}{d\lambda^2} \qquad$(4.8)

Rysunek 16 Charakterystyka współczynnika dyspersji materiałowej w funkcji długości fali dla kwarcu.

Dyspersja falowodowa związana jest z zależnością efektywnego współczynnika załamania od częstotliwości, uwzględniającego podział mocy danego modu między rdzeń i płaszcz. Dyspersja falowodowa D_W liczona jest zwykle dla modu podstawowego, którego prędkość grupowa wynosi v_g(λ) i przedstawia się następująco:

$D_W = \frac{d}{d\lambda} \left( \frac{1}{v_g} \right) = \frac{V^2n}{2\pi c} \frac{d^2\beta}{dV^2} \qquad$(4.9)

gdzie

V – częstotliwość znormalizowana wprowadzona wcześniej i zdefiniowana wzorem (2.14).

Dyspersja falowodowa ma przeciwny znak i częściowo kompensuje dyspersję materiałową, co pokazano na poniższym rysunku. W światłowodach jednomodowych dominuje dyspersja chromatyczna.

W rezultacie w wyniku działania dyspersji chromatycznej impuls światła o szerokości spektralnej _ poszerza się – w miarę propagacji – do szerokości _, co można zapisać następującą zależnością:

$\sigma_\tau = |D_C|\sigma_\lambda L = |D_\lambda + D_W|\sigma_\lambda L \qquad$(4.10)

Rysunek 17 Całkowita dyspersja chromatyczna w światłowodach