Podręcznik: Złacze p-n w równowadze termodynamicznej

5. Podstawy fizyczne złącz półprzewodnikowych

5.1. Złacze p-n w równowadze termodynamicznej

Złącze p-n powstaje w półprzewodniku wokół powierzchni rozgraniczającej obszary przeciwnego typu: p i n. Istotne znaczenie złącz p-n wynika z ich silnie nieliniowej, asymetrycznej charakterystyki prądowo-napięciowej.
Wytworzenie w półprzewodniku dwóch obszarów przeciwnego typu oznacza powstanie pomiędzy nimi obszaru przejściowego, w którym koncentracje nośników ładunku elektrycznego (pochodzące głównie z jonizacji termicznej akceptorów i donorów) zmieniają się o wiele rzędów wartości i który stanowi dipolową warstwę ładunku przestrzennego. Obszar ten nazywany też warstwą zaporową, rozdziela neutralne obszary p i n.


	Rys.5.1. Jednowymiarowy model złącza p-n

O właściwościach elektrycznych poszczególnych obszarów złącza p-n decyduje rozkład koncentracji domieszek. Na wstępie rozważania prowadzone są na przykładzie złącza skokowego.
Uformowanie się warstwy zaporowej w złączu p-n zachodzi równolegle z technologicznym wytworzeniem złącza p-n. Łatwiej jednak jest to zjawisko przedstawić zakładając wytworzenie złącza przez nagłe zetknięcie wcześniej odosobnionych obszarów p i n.

Z różnicą koncentracji dziur i elektronów w obszarch p i n wiąże się różne położenie poziomu Fermiego, a więc różna średnia energia swobodnych nośników: praca wyjścia elektronów z obszaru n jest mniejsza niż z p. Stan przedstawiony na rysunku w postaci modelu pasmowego jest nietrwały:


	Rys.5.2 Modele pasmowe rozdzielonych próbek półprzewodnika typu p i n

Po "złączeniu" obszarów p i n w jeden układ fizyczny (kryształ), powstaje ukierunkowany przepływ swobodnych nośników ładunku związany z gradientem ich koncentracji i zgodny z różnicą prac wyjścia. Oznacza to przepływ elektronów w paśmie przewodnictwa z obszaru n do p oraz dziur w paśmie walencyjnym z p do n. Przepływ ten prowadzi do wyrównywania w całym ośrodku koncentracji tych nośników, do stanu energetycznie bardziej prawdopodobnego (opis energetyczny):


	Rys.5.3. Model pasmowy złącza p-n w równowadze termodynamicznej

W obszarze przejściowym na skutek dyfuzyjnego odpływu nośników większościowych powstaje dipolowa warstwa ładunku przestrzennego, który wywołuje zmianę energii potencjalnej nośników i jest źródłem lokalnego pola elektrycznego (rys. 5.5) Zmiana ta uniemożliwia dalszy przepływ wypadkowego (dyfuzyjnego) strumienia dziur i elektronów. Pomiędzy powstałym polem elektrycznym a zakrzywieniem poziomów energetycznych zachodzi związek:

$E=grad W$

(5.1)

Temu zakrzywiemiu odpowiada następujący rozkład potencjału elektrostatycznego:


	Rys.5.4. Rozkład potencjału elektrostatycznego w skokowym złączu p-n

Dipolową warstwę ładunku przestrzennego stanowi obszar o obniżonej koncentracji swobodnych nośników ładunku, nazywany warstwą zubożoną ( depletion layer) lub warstwą zaporową.


	Rys.5.5. Rozkłady koncentracji nośników, gęstości ładunku przestrzennego i pola elektrycznego w skokowym złączu p-n w równowadze termodynamicznej

Różnica potencjałów pomiędzy obszarami n i p na krawędziach tej warstwy (rys. 5.4) stanowi tzw. napięcie złączowe lub gradientowe oznaczane U_j. Używana jest też nazwa napięcie dyfuzyjne (oznaczane U_D) głównie w odniesieniu do złącza skokowego. W tym przypadku, korzystając z rys. 5.3, wartość napięcia dyfuzyjnego można łatwo obliczyć z następujących związków:

$U_{D}=\frac{1}{q}\cdot (W_{Fi[p]}-W_{Fi[n]})$

(5.2)

Uwzględniając:

$p{_{p0}}(-d_{p})=n{_{i}}\cdot exp(\frac{\left ( W_{Fi[p]} - W_{F}\right )}{kT})$

$n{_{n0}}(-d_{n})=n{_{i}}\cdot exp(\frac{\left ( W_{F} - W_{Fi[n]}\right )}{kT})$

(5.3)

otrzymuje się:

$U_{D}=\frac{kT}{q}\cdot ln\frac{n_{n0(d_{n})}-p_{p0(-d_{p})}}{n_{i}^{2}}_{}$

(5.4)

Powyższa różnica potencjałów stanowi barierę (rys. 5.4) uniemożliwiającą wypadkowy, dyfuzyjny przepływ elektronów i dziur między obszarami p i n, mimo istnienia gradientów koncentracji nośników. Z tego powodu ten szczególny przypadek obszaru zubożonego wyróżnia się nazwą warstwa zaporowa.
Innymi słowy, w równowadze termodynamicznej strumień większościowych elektronów przemieszczających się ruchem cieplnym z obszaru n do p i tam rekombinujących z dziurami, ma, na skutek hamującego oddziaływania pola elektrycznego w warstwie zaporowej, taką samą niewielką wartość, jak strumień mniejszościowych elektronów generowanych w obszarze p i przemieszczających się do obszaru n (opis półmikroskopowy).
Z makroskopowego punktu widzenia można to zjawisko ująć ilościowo jako zrównoważenie hipotetycznych niezależnych prądów: prądu dyfuzyjnego, który odpowiadałby określonemu gradientowi koncentracji oraz prądu unoszenia, który odpowiadałby powstałemu w warstwie zaporowej polu elektrycznemu:

$\vec{J}_{n0}=q\mu _{n}n_{0}\vec{E}_{0}+qD_{n}\Delta n_{0}$ , $\vec{J}_{p0}=q\mu _{p}p_{0}\vec{E}_{0}+qD_{p}\Delta p_{0}$

Materiał dodatkowy

Opis energetyczny

Przemieszczające się nośniki obdarzone są ładunkiem elektrycznym i dlatego, w pobliżu granicy metalurgicznej zakłócona zostaje lokalna obojętność elektryczna. W bezpośrednim związku z tym przepływem jest odsłanianie (skompensowanego w neutralnym półprzewodniku) dodatniego ładunku zjonizowanych donorów i ujemnego ładunku zjonizowanych akceptorów. W obszarze przejściowym tworzy się więc warstwa ładunku przestrzennego, w której występuje pole elektryczne i zmiana wartości potencjału elektrostatycznego. Zmiana ta oznacza równocześnie zakrzywienie poziomów energetycznych w modelu pasmowym półprzewodnika. Odpływ ujemnie naładowanych elektronów ładuje obszar n dodatnio. Towarzyszy temu wzrost potencjału elektrostatycznego tego obszaru względem obszaru p, a energia pozostających w obszarze n elektronów maleje. Podobnie, obszar p ładuje się ujemnie, co oznacza tam dodatni przyrost energii potencjalnej elektronów. Zjawisko to związane jest zarówno z przejściem swobodnego elektronu w paśmie przewodnictwa z obszaru n do p, jak i przejściem swobodnej dziury w paśmie walencyjnym w przeciwną stronę. W konsekwencji następuje obniżenie poziomów energetycznych modelu pasmowego w obszarze n względem p. Przemieszczanie się nośników ustaje, gdy zostaje osiągnięta równowaga termodynamiczna tzn. W_F = const w całej strukturze i tym samym nastąpi wyrównanie wartości średniej energii swobodnych nośników w poszczególnych obszarach półprzewodnika.
Opis półmikroskopowy

W odosobnionych obszarach półprzewodnika typu p i typu n zachodzą chaotyczne ruchy cieplne nośników o symetrycznym rozkładzie prędkości. Oznacza to, że składowe prędkości nośników dla dowolnego kierunku wzajemnie się znoszą i nie obserwujemy wypadkowego przemieszczania się nośników wewnątrz tych obszarów.
Z chwilą zaistnienia możliwości przemieszczania się nośników ładunku pomiędzy tymi fragmentami złącza, przez granicę metalurgiczną przepływają, w wyniku chaotycznych ruchów cieplnych, większościowe elektrony z obszaru n do p oraz mniejszościowe elektrony z obszaru p do n w paśmie przewodnictwa. Z powodu różnicy koncentracji tych nośników po obu stronach granicy metalurgicznej, obserwuje się wypadkowy strumień elektronów w paśmie przewodnictwa skierowany z obszaru n do p. W wyniku odpływu elektronów "odsłaniany" jest dodatni ładunek zjonizowanych donorów po stronie n w obszarze przejściowym i powstaje pole elektryczne hamujące ten przepływ elektronów do obszaru p. Analogiczne przepływy dziur zachodzą w paśmie walencyjnym prowadząc do odsłaniania ujemnego ładunku zjonizowanych akceptorów.
Zatem, wypadkowym przepływom nośników większościowych przez granicę metalurgiczną towarzyszy powstawanie nieskompensowanego (lokalnie przez swobodne nośniki) ładunku dipolowego zjonizowanych domieszek w obszarze przejściowym i równocześnie pola elektrycznego przeciwdziałającego tym przepływom. To pole elektryczne oddziałuje hamująco tylko na nośniki większościowe (stanowi dla nich "zaporę"). W miarę powiększania się ładunku i wzrostu wartości pola elektrycznego strumień nośników większościowych maleje, bowiem coraz mniejsza ich liczba posiada energię wystarczającą do pokonania rosnącej bariery potencjału.
Dla nośników mniejszościowych przemieszczających się chaotycznymi ruchami cieplnymi do obszaru o wyższej ich koncentracji, powstające pole elektryczne nie stanowi przeszkody, przeciwnie - jest dla nich polem przyspieszającym. Nie oznacza to jednak wzrostu wartości strumienia tych nośników, ponieważ ograniczeniem jest w tym przypadku wydajność ich źródła, a zatem szybkość generacji termicznej.
Przedstawione oddziaływanie rosnącego pola elektrycznego prowadzi do zmniejszenia strumieni nośników większościowych do wartości równej strumieniom nośników mniejszościowych. Zrównanie się tych strumieni dla elektronów w paśmie przewodnictwa i dziur w paśmie walencyjnym oznacza osiągnięcie stanu równowagi termodynamicznej charakteryzującej się brakiem przepływów wypadkowych.

Elektrostatyka złącza P-N

Podstawowym uproszczeniem w teorii złącza p-n jest założenie, że można je podzielić na trzy ostro rozgraniczone obszary (rys. 5.1):

warstwę zaporową (obszar zubożony), gdzie:

$\left | N(x) \right |\gg \left|p(x)-n(x)\right|$
obszary quasi-neutralne n oraz p, gdzie:

$\Delta p(x)\approx \Delta n(x)$

$\left | N(x) \right |\gg \left|p(x)-n(x)+N(x)\right|$

gdzie dodatkowo przyjęto przypadek jednowymiarowy.
Dzięki temu założeniu granice warstwy zaporowej i rozkład potencjału elektrostatycznego można określić rozwiązując samo równanie Poissona:

$\frac{d^{2}\Psi }{dx^{2}}=-\frac{\varrho }{\varepsilon}$

(5.5)

przy zaniedbaniu ładunku swobodnych nośników w tej warstwie:

$\varrho \approx qN(x)=N_{d}^{+}-N_{a}^{-}$

(5.6)

Całkując rozkład gęstości ładunku przestrzennego w warstwie zaporowej dla warunków brzegowych uwzględniających zanik pola elektrycznego w obszarach quasi-neutralnych:

$E(-d_{p})=0=\frac{d\Psi }{dx}\mid _{x=-d_{p}}$ , $E(d_{n})=0=\frac{d\Psi }{dx}\mid _{x=d_{n}}$

oraz polaryzację złącza napięciem U:

$\Psi (d_{n})-\Psi (-d_{p})= U_{D}-U$ lub inaczej $\Psi (d_{n})= U_{D}-U, \Psi (-d_{p})=0$

$\Psi (d_{n})= U_{D}-U, \Psi (-d_{p})=0$

otrzymuje się:

$E(x)=-\frac{d\Psi }{dx}=\frac{1}{\varepsilon }\int_{-d_{p}}^{x}\varrho dx$

(5.7)

$\Psi (x)=\Psi (-d_{p})-\int_{-d_{p}}^{x}Edx$

(5.8)

Biorąc pod uwagę warunki brzegowe dla x = d_n otrzymuje się układ dwóch równań, których rozwiązaniem dla określonego rozkładu koncentracji domieszek są głębokości wnikania warstwy zaporowej w obszary p i n:

$\int_{-d_{p}}^{d_{n}}\varrho dx=0$ , $\frac{1}{\varepsilon }\int_{-d_{p}}^{d_{n}}x\varrho dx=U_{d}-U$

(5.9)

W przypadku równowagi ładunki akceptorów i donorów równoważą się ( N_a d_p = N_d d_n), a granice warstwy zaporowej określają następujące wzory:

$d_{n}=\sqrt{\frac{2\varepsilon}{q}(U-U_{D})\frac{N_{a}}{N_{d}(N_{a}+N_{d})}}$

$d_{p}=\sqrt{\frac{2\varepsilon}{q}(U-U_{D})\frac{N_{d}}{N_{a}(N_{a}+N_{d})}}$

(5.10)

Łatwo zauważyć, że w złączu asymetrycznym warstwa zaporowa wnika głównie w obszar słabiej domieszkowany, np. dla złacza p+-n mamy $d\approx d_{n}\approx =\sqrt{\frac{2\varepsilon}{q}(U-U_{D})\frac{1}{N_{d}}}.$

Szerokość warstwy zaporowej wyznacza wartośc pojemności złączowej C_j, traktowanej jako pojemność kondensatora płaskiego o odległości pomiędzy okładkami równej szerokości warstwy zaporowej d i powierzchni okładek równej powierzchni złacza A_j: $C_{j}=\frac{\varepsilon_{s} A_{j}}{d}.$ (5.11)

Jak można eksperymentalnie określić charakter złącza p-n (skokowe, dyfuzyjne) i wyznaczyć wartość napięcia dyfuzyjnego. Podać procedurę.
Rozwiązanie
Napięcie złączowe U_j, nazywane też gradientowym lub dyfuzyjnym U_D, jest wartością różnicy potencjałów na krańcach złącza w równowadze termodynamicznej, a zatem nie można go zmierzyć. Pośrednio może być wyznaczone korzystając z pomiaru innej wielkości fizycznej zależnej od tego napięcia, np. pojemności warstwy zaporowej:
$C_{j}=\frac{\varepsilon_{s} A_{j}}{d}\div (U-U_{j})^{-m},$
gdzie m jest współczynnikiem gradientowym: m = 0.5 dla złącza skokowego, m = 0.33 dla dyfuzyjnego.
Pomiar pojemności złączowej (w układzie mostka) dla polaryzacji zaporowej (tj. przy niewielkich upływnościach) pozwala zatem określić charakter złącza p-n oraz wyznaczyć napięcie dyfuzyjne. Wykres (C_j)^-1/m dla odpowiedniej wartości m jest zbliżony do linii prostej, której ekstrapolacja przecina oś napięciową dla wartości równej napięciu dyfuzyjnemu U_D (gradientowemu Uj). Dla złącza skokowego pojemność warstwy zaporowej w funkcji napięcia polaryzacji przedstawiono na rys. 5.6:

Uzupelnij opis obrazka

Rys. 5.6 Pojemność warstwy zaporowej w funkcji napięcia polaryzacji

Natężenie pola elektrycznego w złączu skokowym jest funkcją liniową:

$E(x)=-\frac{qN_{a}}{\varepsilon }(x+d_{p})$ dla x<=0,

$E(x)=\frac{qN_{d}}{\varepsilon }(x-d_{n})$ dla x>=0

(5.12)

i osiąga wartość maksymalną na granicy metalurgicznej:

$E(0)=-\frac{qN_{a}}{\varepsilon }(d_{p})=-\frac{qN_{d}}{\varepsilon }(d_{n})$

Potencjał elektrostatyczny jest więc kwadratową funkcją współrzędnej położenia:

$\Psi(x)=-\frac{qN_{a}}{2\varepsilon }(x+d_{p}^{})^{2}$ dla x<=0

$\Psi(x)=U_{D}-U-\frac{qN_{d}}{2\varepsilon }(x-d_{n}^{})^{2}$ dla x>=0

(5.13)

Dla złącz nierównomiernie domieszkowanych istnieją rozwiązania analityczne dla liniowej aproksymacji rozkładu 5.4 (niewielkie znaczenie praktyczne) oraz dla 5.3 (wykorzystywane przez projektantów).