Podręcznik: Prądy rekombinacji-generacji

1. Złącze p-n

1.2. Prądy rekombinacji-generacji

Równania transportu

Ilościowe określenie właściwości elektrycznych złącza p-n wymaga rozwiązania układu równań transportu dla zadanych warunków polaryzacji, a zatem znalezienia rozkładów koncentracji elektronów n i dziur p oraz potencjału elektrostatycznego y. Na podstawie tych wielkości fizycznych można obliczyć charakterystyki prądowo-napięciowe i wszystkie interesujące parametry elektryczne. Układ równań transportu w najprostszej jednowymiarowej wersji tworzą:

równania gęstości prądów (1.5)

$J_{n}=q\mu _{n}nE+qD_{n}\frac{dn}{dx}$ , $J_{p}=q\mu _{p}pE+qD_{p}\frac{dp}{dx}$

(1.5)

równania ciągłości (1.6)

$\frac{\partial n}{\partial t}=\frac{1}{q}\frac{\mathrm{d} J_{n}}{\mathrm{d} t}-(r-g)$ , $\frac{\partial p}{\partial t}=-\frac{1}{q}\frac{\mathrm{d} J_{p}}{\mathrm{d} t}-(r-g)$

(1.6)

i uzupełniające równanie Poissona (1.5).

Składowe prądu stałego

W przypadku stacjonarnym całkowanie równań ciągłości w strukturze złącza z rys. 1.1 prowadzi do następujących wzorów określających rozkłady gęstości prądów elektronów i dziur:

$J_{n}(x)=J_{n}(-x_{kp})+q\int_{-x_{kp}}^{x}(r-g)dx$ ,

$J_{p}(x)=J_{p}(-x_{kp})+q\int_{-x_{kp}}^{x}(r-g)dx$

(1.7)

których suma w dowolnej płaszczyźnie równa jest gęstości prądu całkowitego:

$J=J_{n}(x_{kn})+J_{p}(x_{kn})=J_{n}(-x_{kp})+q\int_{-x_{kp}}^{x_{kn}}(r-g)dx+J_{p}(x_{kn})$

(1.8)

gdzie $J_{n}(-x_{kp})$ , $J_{p}(x_{kn})$ są gęstościami prądu nośników mniejszościowych w kontaktach elektrycznych (do pominięcia dla długich obszarów quasi-neutralnych).

Wzory (1.7, 1.8) opisują zmiany gęstości prądów nośników ładunku przepływających przez złącze, spowodowane zjawiskami rekombinacji i generacji .

Uzupelnij opis obrazka

Rys. 1. 8 Rozkłady gęstości prądów elektronów i dziur w złączu symetrycznym z długimi obszarami quasi-neutralnymi (w>>L)

Dzieląc całkę w równaniu (1.8) na części odpowiadające warstwie zaporowej i obszarom quasi-neutralnym można wyróżnić następujące składowe gęstości prądu całkowitego traktowanego jako prąd rekombinacji-generacji:

$J=J_{rg}=J_{rg[q]}+J_{rg[w]}$

(1.9)

Gęstość prądu rekombinacji-generacji w obszarach quasi-neutralnych (wraz z kontaktami):

$J_{rg[q]}=J_{rg[n]}+J_{rg[p]}$

(1.10)

(w literaturze nazywanego też niezbyt ściśle składową dyfuzyjną lub składową rekombinacji-generacji przyzłączowej), odpowiadającego prądowi Shockley'a (dla długich obszarów quasi-neutralnych):

gdzie:

$J_{rg[n]}=J_{p}(x_{kn})+q\int_{d_{n}}^{x_{kn}}(r-g)dx$

(1.11)

$J_{rg[p]}=J_{n}(-x_{kp})+q\int_{-x_{kp}}^{-d_{p}}(r-g)dx$

(1.12)

- Gęstość prądu rekombinacji-generacji w warstwie zaporowej (w literaturze nazywanego niezbyt ściśle składową rekombinacji-generacji złączowej):

$J_{rg[w]}=q\int_{-d_{p}}^{d_{n}}(r-g)dx$ .

(1.13)

Poszczególne całki można obliczyć po znalezieniu w poszczególnych obszarach rozkładów koncentracji nośników, potrzebnych do określenia wypadkowej szybkości rekombinacji-generacji.

Prąd rekombinacji-generacji w obszarach quasi-neutralnych

W złączu skokowym (z równomiernie domieszkowanymi obszarami quasi-neutralnymi), przy założeniu:

małych poziomów wstrzykiwania

$\Delta p(x)), \Delta n(x))< < n_{0}+p_{0}$ .

(1.14)

braku pola elektrycznego,
szybkości rekombinacji-generacji w postaci

$r-g=\Delta n/\tau =\Delta p/\tau$

równania ciągłości (1.6) elektronów i dziur można sprowadzić do równań dyfuzji tych nośników.

Problem znalezienia rozkładów koncentracji nośników, np. w obszarze n, sprowadza się zatem do rozwiązania równania dyfuzji dziur:

$\frac{\mathrm{d^{2}}\Delta p }{\mathrm{d} x_{2}}-\frac{\Delta p}{L_{p}^{2}}=0$

(1.15)

gdzie: $\Delta p(x))\approx \Delta n(x)$ , długość drogi dyfuzji dziur $L_{p}=\sqrt{D_{p}\tau _{p}}$ , czas życia $\tau _{p} \approx \tau _{n}$ .

Przyjmując w płaszczyznach ograniczających obszar quasi-neutralny następujące warunki brzegowe:

warunek Bolzmanna na granicy warstwy zaporowej:

$\Delta p(d_{n})\approx p_{n0}[exp(U/V_{T})-1]$ ,

stan równowagowy w płaszczyźnie kontaktu elektrycznego: $\Delta p(x_{kn})=0$

otrzymuje się rozwiązanie w postaci:

$\Delta p(x)\Delta p(x_{kn})=\Delta p(d_{n})sh\frac{x_{kn}-x}{L_{p}}sh\frac{w_{n}}{L_{p}}$ , $xw_{n}=x_{kn}-d_{n}$

(1.16)

Ten rozkład koncentracji można aproksymować funkcją wykładniczą dla długiego obszaru $w_{n}>>L_{p}$ lub funkcją liniową dla krótkiego $w_{n}$ .

Gęstość prądu rekombinacji-generacji w obszarze n (wraz z kontaktem elektrycznym) równa jest gęstości prądu dziur przepływających przez płaszczyznę graniczną warstwy zaporowej:

$J_{rg[n]}=J_{p}(d_{n})=-qD_{p}\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}\mid _{x=d_{n}}=-\frac{qD_{p}\Delta p(d_{n})}{L_{p}}cth\frac{w_{n}}{L_{p}}$

(1.17)

Uwzględniając analogiczną postać składowej prądu dla obszaru p oraz zależność koncentracji nośników na krawędziach warstwy zaporowej od napięcia polaryzacji Wboltz, otrzymuje się wyrażenie określające gęstość prądu rekombinacji-generacji w obszarach quasi-neutralnych:

$J _{rg[q]}= J_{sq}[exp(U/V_{T})-1]$

(1.18)

gdzie

$J_{sq}=q(\frac{D_{p}p_{n0}}{L_{p}}cth\frac{w_{n}}{L_{p}}+\frac{D_{n}n_{p0}}{L_{n}}cth\frac{w_{p}}{L_{n}})$

(1.19)

Wyrażenie określające gęstość prądu nasycenia można uprościć dla typowego przypadku złącza asymetrycznego:

dla złącza n⁺-p,

$J_{sq}=\frac{qD_{n}n_{p0}}{L_{n}}cth\frac{w_{p}}{L_{n}}$

(1.20)

oraz w zależności od długości bazy (obszaru słabiej domieszkowanego):

$J_{sq}\approx \frac{qD_{n}n_{p0}}{w_{p}}$ dla krótkiej bazy ( $w_{n}$ )

(1.21)

$J_{sq}\approx \frac{qD_{n}n_{p0}}{L_{p}}$ dla długiej bazy ( $w_{n}>>L_{p}$ )

(1.22)

(ostatni przypadek odpowiada klasycznej charakterystyce Shockley’a).

Naszkicować na jednym rysunku charakterystyki krzemowych złączy p+-n o różnych długościach baz: w_n/L_p = 2 i 0,1. Dla polaryzacji przewodzenia przyjąć skalę lg(I) = f(U).

Rozwiązanie

Zmiana długości bazy może wpływać na przebieg charakterystyki prądowo-napięciowej tylko w zakresie dominacji składowej rekombinacji-generacji w obszarach quasi-neutralnych. W przypadku złącza o w₁ = 2L_p, czyli o długiej bazie, prąd nasycenia (1.22) jest odwrotnie proporcjonalny do długości drogi dyfuzji. W przypadku w₂ = 0,1L_p (krótka baza) prąd nasycenia (1.21) jest odwrotnie proporcjonalny do długości bazy, a więc jest 10 krotnie większy niż dla w₁.

Uzupelnij opis obrazka

Rys. 1. 9 Charakterystyki I-U złączy o krótkiej i długiej bazie

Dla złącza dyfuzyjnego można określić składową gęstości prądu rekombinacji-generacji w obszarach quasi-neutralnych przy założeniu:

asymetrii złącza: n⁺-p , N_d>>N_a,
krótkiej bazy: w_p<<L_n.

Założenia te oznaczają, że o wartości prądu decydują zjawiska zachodzące w bazie p, w której można zaniedbać rekombinację-generację objętościową:

$J_{rg[q]}\approx J_{rg[p]}\approx q\mu _{n}nE+qD_{n}\frac{\mathrm{d} n}{\mathrm{d} x}\approx const.$

(1.23)

Równocześnie:

$J_{p}= q\mu _{p}pE-qD_{p}\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}\approx 0$ czyli $E\approx V_{T}\frac{1}{p}\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}$

(1.24)

i równanie (1.23) można przekształcić do postaci:

$\frac{J_{n}p}{qd_{n}}=\frac{\mathrm{d} (np)}{\mathrm{d} x}$ ,

a następnie scałkować po obszarze bazy

$\frac{1}{q}J_{n}\int_{-x_{kp}}^{-d_{p}}\frac{p}{D_{n}}dx=np\mid _{-x_{kp}}^{-d_{p}}$

otrzymując tzw. równanie Molla-Rossa :

$J_{n}(0)=q\frac{n(-d_{p})p(-d_{p})-n(-x_{kp})p(-x_{kp})}{\int_{-x_{kp}}^{-d_{p}}{\frac{p}{D_{n}}dx}}$

(1.25)

Uwzględniając warunki brzegowe na krawędzi warstwy zaporowej oraz równowagę termodynamiczną na kontakcie elektrycznym, otrzymuje się:

$J_{rg[q]}\approx J_{rg[p]}\approx J_{n}=\frac{qn_{i}^{2}}{G_{B}}[exp(\frac{U}{V_{T}}-1)]$

(1.26)

gdzie liczba Gummela dla bazy

$G_{B}(0)=\int_{-x_{kp}}^{-d_{p}}{\frac{p}{D_{n}}dx}$

(1.27)

stanowi parametr materiałowo-konstrukcyjny uwzględniający pole elektryczne. Może być łatwo oszacowana przy założeniu średniej wartości D_nśr oraz p_p@N_a.

Składowa gęstości prądu rekombinacji-generacji w obszarach quasi-neutralnych złącza dyfuzyjnego jest więc taką samą funkcją napięcia polaryzacji (1.18) jak w złączu skokowym. Różne od (1.21) jest natomiast wyrażenie określające gęstość prądu nasycenia:

$J_{sq}=\frac{qn_{i}^{2}}{G_{B}}$

(1.28)

Prąd rekombinacji-generacji w warstwie zaporowej

Obliczenie gęstości prądu związanego ze zjawiskami rekombinacji-generacji w warstwie zaporowej Wrgw wymaga scałkowania wyrażenia określającego wypadkową szybkość rekombinacji-generacji.

Dla polaryzacji zaporowej pogłębia się zubożenie w tej warstwie w swobodne nośniki:

Uzupelnij opis obrazka

Rys. 1.10 Rozkłady koncentracji nośników i wypadkowej szybkości rekombinacji-generacji w warstwie zubożonej zaporowo spolaryzowanego złącza p-n

Już dla napięć wstecznych rzędu kilku V_T iloczyn koncentracji np<0.01n_i². Zaniedbując całkowicie swobodne elektrony i dziury zakłada się, że w całej warstwie występuje tylko generacja nośników i wynikający stąd wkład do prądu można oszacować następująco:

$J_{rg[w]}=q\int_{-d_{p}}^{d_{n}}(r-g)dx\approx -q\int_{-d_{p}}^{d_{n}}\frac{n^{_{i}^{2}}}{2\tau _{r}}dx=-\frac{qn_{i}d}{2\tau _{r}}=-J_{sw}$

(1.29)

Dla polaryzacji przewodzenia koncentracje nośników są wyższe od równowagowych

Uzupelnij opis obrazka

Rys. 1.11 Rozkłady koncentracji nośników i wypadkowej szybkości rekombinacji-generacji w warstwie zubożonej złącza p-n spolaryzowanego w kierunku przewodzenia

Wypadkowa szybkość rekombinacji-generacji Wsrhupr zmienia się teraz wyraźnie w obrębie warstwy zaporowej. Osiąga maksimum na granicy metalurgicznej:

$n(0)=p(0)=n_{i}exp\frac{U}{V_{T}}$ to $(r-g)^{max}\approx \frac{n_{i}^{2}}{2\tau _{r}}exp\frac{U}{2V_{T}}$

a wartości minimalne na krawędziach warstwy zaporowej dla U>> V_T:

$(r-g)_{x=-d_{p}}\approx \frac{n_{i}^{2}}{\tau _{r}p_{p}}exp\frac{U}{V_{T}}$ , $(r-g)_{x=d_{n}}\approx \frac{n_{i}^{2}}{\tau _{r}n_{n}}exp\frac{U}{V_{T}}$

Wynika stąd, że wykładnicza zależność tej szybkości od napięcia polaryzacji przewodzenia zmienia się i gęstość prądu rekombinacji w warstwie zaporowej jest proporcjonalna do funkcji:

$J_{rg[w]}=J_{r[w]}\div exp\frac{U}{nV_{T}}$ , $J_{sw}\approx \frac{qn_{i}d}{2\tau _{r}}$ , $n\approx 1.8$

(1.30)

gdzie współczynnik emisji $n\in (1,2)$

Ostatecznie dla dowolnej polaryzacji można przyjąć, że:

$J_{rg[w]}=J_{sw}[exp\frac{U}{nV_{T}}-1]$ , $J_{sw}\approx \frac{qn_{i}d}{2\tau _{r}}$ , $n\approx 1.8$

Rekombinacja i generacja

Procesy rekombinacji i generacji termicznej nośników ładunku elektrycznego w półprzewodniku można opisać korzystając z modelu Shockley’a-Reada-Halla (SRH) dla pojedynczego poziomu centrów rekombinacyjnych.:

$r-g=R_{SRH}=\frac{np-n_{i}^{2}}{\tau _{pr}(n+n_{r})+\tau _{nr}(p+p_{r})}$

(1.31)

Najefektywniejsze są centra zlokalizowane w pobliżu samoistnego poziomu Fermiego. Zakładając zatem dla parametrów modelu:

$n_{r}=p_{r}=n_{i}$ oraz $\tau _{nr}=\tau _{pr}=\tau _{r},$

wzór (1.31) upraszcza się do postaci:

$R_{SRH}\approx \frac{np-n_{i}^{2}}{\tau _{r}(n+p+2n_{i})}$

(1.32)

Dla wysokich koncentracji domieszek (rzędu 10¹⁹ cm^-3) zachodzą dodatkowo procesy zderzeniowe – rekombinacja Augera:

$R_{A}\approx (C_{An}n+C_{Ap}p)(np-n_{i}^{2})$

(1.33)

W stanie równowagi termodynamicznej procesy generacji i rekombinacji nośników zachodzą z jednakową intensywnością (równowaga szczegółowa):

$r_{0}-g_{0}=0.$

W przypadku zakłócenia koncentracji nośników zjawiska rekombinacji-generacji stanowią odpowiedź ośrodka mającą na celu przywrócenie równowagi termodynamicznej:

$r\div np, g=g_{0} \div n_{i}^{2}\rightarrow r-g\div np-n_{i}^{2}$ .

Relaksacyjny charakter tego zjawiska wyraża zapis:

$r-g=\frac{\Delta n}{\tau }=\frac{\Delta p}{\tau }$ ,

gdzie średni czas trwania zakłócenia t nazywany jest czasem życia nośników. Dla zjawisk termicznych czas życia można określić korzystając z modelu SRH. Jest to parametr praktycznie stały dla małych poziomów zakłócenia koncentracji nośników, bliski granicznym czasom życia t_nr lub t_pr odpowiednio w obszarze p lub n.

W złączu p-n spolaryzowanym w kierunku przewodzenia, szybkość rekombinacji jest większa od szybkości generacji:

$np>n_{i}^{2} \rightarrow r-g>0\rightarrow J>0$

Dla polaryzacji zaporowej jest odwrotnie:

$np$ .