1. Złącze p-n

1.2. Prądy rekombinacji-generacji

Równania transportu

Ilościowe określenie właściwości elektrycznych złącza p-n wymaga rozwiązania układu równań transportu dla zadanych warunków polaryzacji, a zatem znalezienia rozkładów koncentracji elektronów n i dziur p oraz potencjału elektrostatycznego y. Na podstawie tych wielkości fizycznych można obliczyć charakterystyki prądowo-napięciowe i wszystkie interesujące parametry elektryczne. Układ równań transportu w najprostszej jednowymiarowej wersji tworzą:

równania gęstości prądów (1.5)

 

 

\(J_{n}=q\mu _{n}nE+qD_{n}\frac{dn}{dx}\),  \(J_{p}=q\mu _{p}pE+qD_{p}\frac{dp}{dx}\)

 (1.5)  

równania ciągłości (1.6)

 

 

\(\frac{\partial n}{\partial t}=\frac{1}{q}\frac{\mathrm{d} J_{n}}{\mathrm{d} t}-(r-g)\),  \(\frac{\partial p}{\partial t}=-\frac{1}{q}\frac{\mathrm{d} J_{p}}{\mathrm{d} t}-(r-g)\)

 (1.6)  

i uzupełniające równanie Poissona (1.5).

 

Składowe prądu stałego 

W przypadku stacjonarnym całkowanie równań ciągłości w strukturze złącza z rys. 1.1 prowadzi do następujących wzorów określających rozkłady gęstości prądów elektronów i dziur:

 

 

\(J_{n}(x)=J_{n}(-x_{kp})+q\int_{-x_{kp}}^{x}(r-g)dx\),

\(J_{p}(x)=J_{p}(-x_{kp})+q\int_{-x_{kp}}^{x}(r-g)dx\)

 (1.7)  

których suma w dowolnej płaszczyźnie równa jest gęstości prądu całkowitego:

 

 

\(J=J_{n}(x_{kn})+J_{p}(x_{kn})=J_{n}(-x_{kp})+q\int_{-x_{kp}}^{x_{kn}}(r-g)dx+J_{p}(x_{kn})\)

 (1.8)  

gdzie \(J_{n}(-x_{kp}) \), \(J_{p}(x_{kn}) \) są gęstościami prądu nośników mniejszościowych w kontaktach elektrycznych (do pominięcia dla długich obszarów quasi-neutralnych).

Wzory (1.7, 1.8) opisują zmiany gęstości prądów nośników ładunku przepływających przez złącze, spowodowane zjawiskami rekombinacji i generacji .

Uzupelnij opis obrazka

Rys. 1. 8 Rozkłady gęstości prądów elektronów i dziur w złączu symetrycznym z długimi obszarami quasi-neutralnymi (w>>L)

 

Dzieląc całkę w równaniu (1.8) na części odpowiadające warstwie zaporowej i obszarom quasi-neutralnym można wyróżnić następujące składowe gęstości prądu całkowitego traktowanego jako prąd rekombinacji-generacji:

 

 

\(J=J_{rg}=J_{rg[q]}+J_{rg[w]}\)

 (1.9)  

Gęstość prądu rekombinacji-generacji w obszarach quasi-neutralnych (wraz z kontaktami):

 

 

\(J_{rg[q]}=J_{rg[n]}+J_{rg[p]}\)

 (1.10)  

(w literaturze nazywanego też niezbyt ściśle składową dyfuzyjną lub składową rekombinacji-generacji przyzłączowej), odpowiadającego prądowi Shockley'a (dla długich obszarów quasi-neutralnych):

gdzie:

  \(J_{rg[n]}=J_{p}(x_{kn})+q\int_{d_{n}}^{x_{kn}}(r-g)dx\) (1.11)  

                                                        

  \(J_{rg[p]}=J_{n}(-x_{kp})+q\int_{-x_{kp}}^{-d_{p}}(r-g)dx\) (1.12)  

 

-   Gęstość prądu rekombinacji-generacji w warstwie zaporowej (w literaturze nazywanego niezbyt ściśle składową rekombinacji-generacji złączowej):

 

  \(J_{rg[w]}=q\int_{-d_{p}}^{d_{n}}(r-g)dx\).  (1.13)  

Poszczególne całki można obliczyć po znalezieniu w poszczególnych obszarach rozkładów koncentracji nośników, potrzebnych do określenia wypadkowej szybkości rekombinacji-generacji.

 

 
Prąd rekombinacji-generacji w obszarach quasi-neutralnych

 

W złączu skokowym (z równomiernie domieszkowanymi obszarami quasi-neutralnymi), przy założeniu:

  • małych poziomów wstrzykiwania
  \(\Delta p(x)), \Delta n(x))< < n_{0}+p_{0}\).  (1.14)  
  • braku pola elektrycznego,
  • szybkości rekombinacji-generacji w postaci
 

\(r-g=\Delta n/\tau =\Delta p/\tau \)

    

 

równania ciągłości (1.6) elektronów i dziur można sprowadzić do równań dyfuzji tych nośników.

Problem znalezienia rozkładów koncentracji nośników, np. w obszarze n, sprowadza się zatem do  rozwiązania równania dyfuzji dziur:

 

 

\(\frac{\mathrm{d^{2}}\Delta p }{\mathrm{d} x_{2}}-\frac{\Delta p}{L_{p}^{2}}=0\)

 (1.15)  

       gdzie: \(\Delta p(x))\approx \Delta n(x)\), długość drogi dyfuzji dziur \(L_{p}=\sqrt{D_{p}\tau _{p}}\), czas życia  \(\tau _{p} \approx \tau _{n}\).

Przyjmując w płaszczyznach ograniczających obszar quasi-neutralny następujące warunki brzegowe:

  • warunek Bolzmanna na granicy warstwy zaporowej:

   \(\Delta p(d_{n})\approx p_{n0}[exp(U/V_{T})-1]\),

  • stan równowagowy w płaszczyźnie kontaktu elektrycznego: \(\Delta p(x_{kn})=0\)

otrzymuje się rozwiązanie w postaci:

 

 

\(\Delta p(x)\Delta p(x_{kn})=\Delta p(d_{n})sh\frac{x_{kn}-x}{L_{p}}sh\frac{w_{n}}{L_{p}}\), \(xw_{n}=x_{kn}-d_{n}\)

 (1.16)  

Ten rozkład koncentracji można aproksymować funkcją wykładniczą dla długiego obszaru \(w_{n}>>L_{p}\) lub funkcją liniową dla krótkiego \(w_{n}<<L_{p}\).

Gęstość prądu rekombinacji-generacji w obszarze n (wraz z kontaktem elektrycznym) równa jest gęstości prądu dziur przepływających przez płaszczyznę graniczną warstwy zaporowej:

 

 

\(J_{rg[n]}=J_{p}(d_{n})=-qD_{p}\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}\mid _{x=d_{n}}=-\frac{qD_{p}\Delta p(d_{n})}{L_{p}}cth\frac{w_{n}}{L_{p}}\)

 (1.17)  

 

Uwzględniając analogiczną postać składowej prądu dla obszaru p oraz zależność koncentracji nośników na krawędziach warstwy zaporowej od napięcia polaryzacji Wboltz, otrzymuje się wyrażenie określające gęstość prądu rekombinacji-generacji w obszarach quasi-neutralnych:

 

 

\(J _{rg[q]}= J_{sq}[exp(U/V_{T})-1]\)

 (1.18)  

gdzie

 

 

\(J_{sq}=q(\frac{D_{p}p_{n0}}{L_{p}}cth\frac{w_{n}}{L_{p}}+​​\frac{D_{n}n_{p0}}{L_{n}}cth\frac{w_{p}}{L_{n}})\)

 (1.19)  

 

  Wyrażenie określające gęstość prądu nasycenia można uprościć dla typowego przypadku złącza asymetrycznego:

   dla złącza n+-p,  

 

 

\(J_{sq}=\frac{qD_{n}n_{p0}}{L_{n}}cth\frac{w_{p}}{L_{n}}\)

 (1.20)  

oraz w zależności od długości bazy (obszaru słabiej domieszkowanego): 

 

 

\(J_{sq}\approx \frac{qD_{n}n_{p0}}{w_{p}}\)          dla krótkiej bazy  (\(w_{n}<<L_{p}\)) 

 (1.21)  
 

\(J_{sq}\approx \frac{qD_{n}n_{p0}}{L_{p}}\)         dla długiej bazy  (\(w_{n}>>L_{p}\)) 

 (1.22)  

(ostatni przypadek odpowiada klasycznej charakterystyce Shockley’a).

Naszkicować na jednym rysunku charakterystyki krzemowych złączy p+-n o różnych długościach baz: wn/Lp = 2 i 0,1. Dla polaryzacji przewodzenia przyjąć skalę lg(I) = f(U).

Rozwiązanie

Zmiana długości bazy może wpływać na przebieg charakterystyki prądowo-napięciowej tylko w zakresie dominacji składowej rekombinacji-generacji w obszarach quasi-neutralnych. W przypadku złącza o w1 = 2Lp, czyli o długiej bazie, prąd nasycenia (1.22) jest odwrotnie proporcjonalny do długości drogi dyfuzji. W przypadku w2 = 0,1Lp (krótka baza) prąd nasycenia (1.21) jest odwrotnie proporcjonalny do długości bazy, a więc jest 10 krotnie większy niż dla w1.

Uzupelnij opis obrazka

Rys. 1. 9 Charakterystyki I­-U złączy o krótkiej i długiej bazie

Dla złącza dyfuzyjnego można określić składową gęstości prądu rekombinacji-generacji w obszarach quasi-neutralnych przy założeniu:

  • asymetrii złącza: n+-p , Nd>>Na,
  • krótkiej bazy: wp<<Ln.

Założenia te oznaczają, że o wartości prądu decydują zjawiska zachodzące w bazie p, w której można zaniedbać rekombinację-generację objętościową:

 

 

\(J_{rg[q]}\approx J_{rg[p]}\approx q\mu _{n}nE+qD_{n}\frac{\mathrm{d} n}{\mathrm{d} x}\approx const.\)

 (1.23)  

Równocześnie:

 

\(J_{p}= q\mu _{p}pE-qD_{p}\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}\approx 0\)    czyli      \(E\approx V_{T}\frac{1}{p}\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}\)       

(1.24)  

i równanie (1.23) można przekształcić do postaci:

 

   \(\frac{J_{n}p}{qd_{n}}=\frac{\mathrm{d} (np)}{\mathrm{d} x}\),

a następnie scałkować po obszarze bazy

 

   \(\frac{1}{q}J_{n}\int_{-x_{kp}}^{-d_{p}}\frac{p}{D_{n}}dx=np\mid _{-x_{kp}}^{-d_{p}}\)

 

otrzymując tzw. równanie Molla-Rossa :

 

 

\(J_{n}(0)=q\frac{n(-d_{p})p(-d_{p})-n(-x_{kp})p(-x_{kp})}{\int_{-x_{kp}}^{-d_{p}}{\frac{p}{D_{n}}dx}}\)

 (1.25)  

Uwzględniając warunki brzegowe na krawędzi warstwy zaporowej oraz równowagę termodynamiczną na kontakcie elektrycznym, otrzymuje się:

 

 

\(J_{rg[q]}\approx J_{rg[p]}\approx J_{n}=\frac{qn_{i}^{2}}{G_{B}}[exp(\frac{U}{V_{T}}-1)]\)

 (1.26)  

gdzie liczba Gummela dla bazy

 

 

\(G_{B}(0)=\int_{-x_{kp}}^{-d_{p}}{\frac{p}{D_{n}}dx}\)

 (1.27)  

 

 

stanowi parametr materiałowo-konstrukcyjny uwzględniający pole elektryczne. Może być łatwo oszacowana przy założeniu średniej wartości Dnśr oraz pp@Na.

Składowa gęstości prądu rekombinacji-generacji w obszarach quasi-neutralnych złącza dyfuzyjnego jest więc taką samą funkcją napięcia polaryzacji (1.18)  jak w złączu skokowym. Różne od (1.21) jest natomiast wyrażenie określające gęstość prądu nasycenia:

 

 

\(J_{sq}=\frac{qn_{i}^{2}}{G_{B}}\)

 (1.28)  

 

Prąd rekombinacji-generacji w warstwie zaporowej

 

Obliczenie gęstości prądu związanego ze zjawiskami rekombinacji-generacji w warstwie zaporowej Wrgw wymaga scałkowania wyrażenia określającego wypadkową szybkość rekombinacji-generacji.

Dla polaryzacji zaporowej pogłębia się zubożenie w tej warstwie w swobodne nośniki:

Uzupelnij opis obrazka

Rys. 1.10 Rozkłady koncentracji nośników i wypadkowej szybkości rekombinacji-generacji w warstwie zubożonej zaporowo spolaryzowanego złącza p-n

 

Już dla napięć wstecznych rzędu kilku VT iloczyn koncentracji np<0.01ni2. Zaniedbując całkowicie swobodne elektrony i dziury zakłada się, że w całej warstwie występuje tylko generacja nośników i wynikający stąd wkład do prądu można oszacować następująco:

 

 

\(J_{rg[w]}=q\int_{-d_{p}}^{d_{n}}(r-g)dx\approx -q\int_{-d_{p}}^{d_{n}}\frac{n^{_{i}^{2}}}{2\tau _{r}}dx=-\frac{qn_{i}d}{2\tau _{r}}=-J_{sw}\)

 (1.29)  

Dla polaryzacji przewodzenia koncentracje nośników są wyższe od równowagowych

Uzupelnij opis obrazka

Rys. 1.11 Rozkłady koncentracji nośników i wypadkowej szybkości rekombinacji-generacji w warstwie zubożonej złącza p-n spolaryzowanego w kierunku przewodzenia

 

Wypadkowa szybkość rekombinacji-generacji Wsrhupr zmienia się teraz wyraźnie w obrębie warstwy zaporowej. Osiąga maksimum na granicy metalurgicznej:

 

   \(n(0)=p(0)=n_{i}exp\frac{U}{V_{T}}\)  to \((r-g)^{max}\approx \frac{n_{i}^{2}}{2\tau _{r}}exp\frac{U}{2V_{T}}\)

 

a wartości minimalne na krawędziach warstwy zaporowej dla U>> VT:

   \((r-g)_{x=-d_{p}}\approx \frac{n_{i}^{2}}{\tau _{r}p_{p}}exp\frac{U}{V_{T}}\),  \((r-g)_{x=d_{n}}\approx \frac{n_{i}^{2}}{\tau _{r}n_{n}}exp\frac{U}{V_{T}}\)

 

Wynika stąd, że wykładnicza zależność tej szybkości od napięcia polaryzacji przewodzenia zmienia się i gęstość prądu rekombinacji w warstwie zaporowej jest proporcjonalna do funkcji:

 

 

\(J_{rg[w]}=J_{r[w]}\div exp\frac{U}{nV_{T}}\)  , \(J_{sw}\approx \frac{qn_{i}d}{2\tau _{r}}\) , \(n\approx 1.8\)          

(1.30)  

gdzie współczynnik emisji \(n\in (1,2)\)

 

Ostatecznie dla dowolnej polaryzacji można przyjąć, że:

 

\(J_{rg[w]}=J_{sw}[exp\frac{U}{nV_{T}}-1]\), \(J_{sw}\approx \frac{qn_{i}d}{2\tau _{r}}\) , \(n\approx 1.8\) 

 

Rekombinacja i generacja 

 

Procesy rekombinacji i generacji termicznej nośników ładunku elektrycznego w półprzewodniku można opisać korzystając z modelu Shockley’a-Reada-Halla (SRH) dla pojedynczego poziomu centrów rekombinacyjnych.:

 

  \(r-g=R_{SRH}=\frac{np-n_{i}^{2}}{\tau _{pr}(n+n_{r})+\tau _{nr}(p+p_{r})}\) (1.31)  

Najefektywniejsze są centra zlokalizowane w pobliżu samoistnego poziomu Fermiego. Zakładając zatem dla parametrów modelu:

 

   \(n_{r}=p_{r}=n_{i} \)  oraz \(\tau _{nr}=\tau _{pr}=\tau _{r},\)

 

wzór (1.31) upraszcza się do postaci:

 

  \(R_{SRH}\approx \frac{np-n_{i}^{2}}{\tau _{r}(n+p+2n_{i})} \) (1.32)  

Dla wysokich koncentracji domieszek (rzędu 1019 cm-3) zachodzą dodatkowo procesy zderzeniowe – rekombinacja Augera:

 

 

   \(R_{A}\approx (C_{An}n+C_{Ap}p)(np-n_{i}^{2})\)

 (1.33)  

W stanie równowagi termodynamicznej procesy generacji i rekombinacji nośników zachodzą z jednakową intensywnością (równowaga szczegółowa):

 

   \(​​r_{0}-g_{0}=0.\)

 

W przypadku zakłócenia koncentracji nośników zjawiska rekombinacji-generacji stanowią odpowiedź ośrodka mającą na celu przywrócenie równowagi termodynamicznej:

 

   \(r\div np, g=g_{0} \div n_{i}^{2}\rightarrow r-g\div np-n_{i}^{2}\).

 

Relaksacyjny charakter tego zjawiska wyraża zapis:

 

   \(r-g=\frac{\Delta n}{\tau }=\frac{\Delta p}{\tau }\),

 

gdzie średni czas trwania zakłócenia t nazywany jest czasem życia nośników. Dla zjawisk termicznych czas życia można określić korzystając z modelu SRH. Jest to parametr praktycznie stały dla małych poziomów zakłócenia koncentracji nośników, bliski granicznym czasom życia tnr  lub tpr odpowiednio w obszarze p lub n.

W złączu p-n spolaryzowanym w kierunku przewodzenia, szybkość rekombinacji jest większa od szybkości generacji:

 

   \(np>n_{i}^{2} \rightarrow r-g>0\rightarrow J>0\)

 

Dla polaryzacji zaporowej jest odwrotnie:

 

\(np<n_{i}^{2} \rightarrow r-g<0\rightarrow J<0\).