Podręcznik: Metoda oparta na twierdzeniu Nortona

4. Metody analizy złożonych obwodów RLC w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym

4.3. Metoda oparta na twierdzeniu Nortona

Twierdzenie Nortona pozwala zastąpić złożony obwód elektryczny o dowolnej strukturze i wartościach elementów, przez obwód prosty będący połączeniem równoległym jednej impedancji zastępczej oraz idealnego źródła prądowego.

Twierdzenie Nortona

Dowolny aktywny obwód liniowy można od strony wybranych zacisków AB zastąpić obwodem równoważnym, złożonym z równoległego połączenia idealnego źródła prądu i impedancji zastępczej obwodu. Wartość źródła zastępczego oblicza się w obwodzie oryginalnym jako prąd zwarciowy gałęzi AB. Impedancja zastępcza widziana z zacisków AB dotyczy obwodu po zwarciu wszystkich źródeł napięcia oraz rozwarciu źródeł prądu i jest identyczna z impedancją zastępczą w twierdzeniu Thevenina.

Rys. 4.6 przedstawia schemat transformacji obwodu zgodnie z twierdzeniem Nortona.

Rys. 4.6 Uproszczenie obwodu zgodnie z twierdzeniem Nortona

Twierdzenie Nortona, podobnie jak Thevenina pozwala obliczyć w prosty sposób prąd lub napięcie jednej wybranej gałęzi obwodu. Rozważmy obwód liniowy z rys. 4.7 z wyszczególnioną gałęzią AB w której poszukiwany jest prąd I. Po prawej stronie rysunku przedstawiono obwód po jego transformacji zgodnie z twierdzeniem Nortona.

Rys. 4.7. Schemat transformacji obwodu według twierdzenia Nortona

Prąd I oraz napięcie U występujące w gałęzi AB obwodu oryginalnego są równe odpowiednio prądowi I oraz napięciu U w tej samej gałęzi obwodu uproszczonego z prawej strony rysunku. Źródło prądowe $I_z$ reprezentuje źródło zastępcze równe prądowi zwarciowemu na zaciskach AB, natomiast impedancja $Z_{AB}$ jest impedancją zastępczą obwodu liniowego po wyłączeniu impedancji Z. Poszukiwane napięcie na impedancji Z oblicza się z prawa prądowego Kirchhoffa, $I_z-U\left(\frac{1}{Z}+\frac{1}{Z_{AB}}\right)=0$ , które pozwala wyrazić napięcie U gałęzi w postaci

$U=\frac{I_z}{1/Z+1/Z_{AB}}$

(4.2)

Znajomość napięcia U pozwala wyznaczyć na podstawie prawa Ohma prąd gałęzi korzystając z zależności $I=U/Z$ . Podobnie jak metoda Thevenina, zastosowanie twierdzenia Nortona umożliwia obliczenie prądu i napięcia tylko jednej wyszczególnionej gałęzi obwodu. Zwykle z punktu widzenia obliczeniowego wygodniejsze jest użycie metody Thevenina.