Podręcznik: Równanie łańcuchowe odwrotne

3. Czwórniki

3.8. Równanie łańcuchowe odwrotne

Równanie łańcuchowe odwrotne czwórnika uzależnia prąd i napięcie na wyjściu czwórnika od prądu i napięcia na jego wejściu

$\left[\begin{matrix}U_2\\I_2\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}B_{11}&B_{12}\\B_{21}&B_{22}\\\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}U_1\\{-I}_1\\\end{matrix}\right]=\mathbf{B}\left[\begin{matrix}U_1\\{-I}_1\\\end{matrix}\right]$

(3.9)

Ostatni rodzaj opisu czwórnikowego (równanie łańcuchowe odwrotne) jest rzadko stosowany. Macierz $\mathbf{B}$ występująca w tym opisie nazywana jest macierzą łańcuchową odwrotną.

Każdy z przedstawionych typów macierzy jednoznacznie opisuje czwórnik. Wybór któregoś z nich jest uwarunkowany strukturą obwodu, sposobem połączenia czwórników, łatwością wyznaczenia parametrów, itp. Przejście z jednego opisu do drugiego polega na przegrupowaniu zmiennych i wyznaczeniu odpowiednich relacji między tymi zmiennymi.

Duża liczba stosowanych opisów macierzowych czwórnika wynika również z faktu, że dla niektórych czwórników pewne opisy mogą nie istnieć. Najbardziej uniwersalne pod tym względem są opisy hybrydowe wykorzystujące macierz $\mathbf{H}$ lub $\mathbf{G}$ , które można otrzymać dla większości obwodów elektrycznych.

3.1

Wyznaczyć opis czwórnika przedstawionego na rys. 3.3. Czwórnik ten nosi nazwę czwórnika typu T i jest jedną z najpopularniejszych struktur czwórnikowych.

Uzupelnij opis obrazka

Rys. 3.3. Schemat obwodu do przykładu 3.1

Rozwiązanie

Z prawa napięciowego i prądowego Kirchhoffa zastosowanego do obwodu z rys. 3.2 można napisać następujące równania

$I_1=I-I_2=YU_2+\left(1+Z_2Y\right)\left(-I_2\right)$

$U_1=U_2+Z_1I_1-Z_2I_2$

Po podstawieniu równania pierwszego do drugiego otrzymuje się

$U_1=\left(1+Z_1Y\right)U_2+\left(Z_1+Z_2+Z_1Z_2Y\right)\left(-I_2\right)$

Jeśli jako opis macierzowy przyjmiemy równanie łańcuchowe to zależności określające prąd wejściowy i napięcie wejściowe w funkcji prądu i napięcia wyjściowego można zapisać w postaci

$\left[\begin{matrix}U_1\\I_1\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1+Z_1Y&Z_1+Z_2+Z_1Z_2Y\\Y&1+Z_2Y\\\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}U_2\\-I_2\\\end{matrix}\right]$

Macierz łańcuchowa $\mathbf{A}$ dana jest więc wzorem

$\mathbf{A}=\left[\begin{matrix}1+Z_1Y&Z_1+Z_2+Z_1Z_2Y\\Y&1+Z_2Y\\\end{matrix}\right]$

Jeśli jako opis macierzowy przyjmiemy równanie impedancyjne, wówczas z przetworzenia równania łańcuchowego otrzymujemy

$\left[\begin{matrix}U_1\\U_2\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}Z+Z_1&Z\\Z&Z+Z_2\\\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}I_1\\I_2\\\end{matrix}\right]$

Macierz impedancyjna dana jest więc w postaci

$\mathbf{Z}=\left[\begin{matrix}Z+Z_1&Z\\Z&Z+Z_2\\\end{matrix}\right]$

Jest to macierz symetryczna, która jest równa macierzy oczkowej obwodu tworzącego analizowany czwórnik.