Podręcznik: Równanie Maxwella w notacji zespolonej

1. Wprowadzenie

1.4. Równanie Maxwella w notacji zespolonej

Przyjmiemy teraz założenie, że natężenia pól elektrycznego i magnetycznego oraz prądy zmieniają się sinusoidalnie w czasie. Pozwala to wprowadzić notację zespoloną. Zespolone wektory E, D, H, B i J związane są z wektorami rzeczywistymi zależnościami w formie (1-7).

$A(x,y,z,t)=Re[A(x,y,z)e^{j\omega t})]$

(1-7)

W praktyce takie w przeważającej liczbie przypadków powyższe założenia są spełnione.

Pochodne po czasie wielkości zmiennych sinusoidalnie, czasami mówimy harmonicznie, w czasie obliczamy zgodnie z regułą (1-8):

$\frac{\partial e^{j\omega t}}{\partial t}=j\omega e^{j\omega t}$

(1-8)

Pozwala to zapisać równania Maxwella w innej, uproszczonej formie, w której usunięto zależność występujących w nich zmiennych od czasu. W notacji zespolonej podawane są zwykle tylko cztery z nich.

$\triangledown \times \mathbf{E} =-j\omega \mathbf{B}$

$\triangledown \times \mathbf{H} =\mathbf{J} +j\omega \mathbf{D}$

$\triangledown \cdot \mathbf{D} = \varrho$

$\triangledown \cdot \mathbf{B} = 0$

(1-9)

Dla ośrodka jednorodnego, w którym nie ma ładunków i prądów przewodzenia równania powyższe upraszczają się do postaci (1-10):

$\triangledown \times \mathbf{E} =-j\omega \mathbf{B}$

$\triangledown \times \mathbf{H} =j\omega \mathbf{D}$

$\triangledown \cdot \mathbf{D} = 0$

$\triangledown \cdot \mathbf{B} = 0$

(1-10)