Podręcznik: Dielektryki i magnetyki

1. Wprowadzenie

1.6. Dielektryki i magnetyki

Materiały dielektryczne powszechnie występują w technice mikrofalowej w konstrukcji tak linii transmisyjnych jak i elementów oraz podzespołów. Rozważmy zachowanie izotropowego dielektryka w zewnętrznym polu elektrycznym o sinusoidalnej zależności od czasu, stosując wektory zespolone.
Pod wpływem pola elektrycznego cząsteczki materii ustawiają się zgodnie z prawem Coulomba tak, że wywołują własne pole elektryczne skierowane przeciwnie do pola zewnętrznego. Zjawisko to określamy mianem elektrycznej polaryzacji (lub krótko polaryzacją) ośrodka i opisujemy przez wektor polaryzacji P_e. Wektory P_e, E i D powiązane są ze sobą zależnością

$\mathbf{D}=_{0}\mathbf{E}+\mathbf{P}_{e}$

(1-13)

W ośrodku liniowym, polaryzacja elektryczna jest liniowo związana z zewnętrznym polem elektrycznym jako

$\mathbf{P}_{e}=\varepsilon _{0}\chi_{e}\mathbf{E}$

(1-14)

przy czym χ_e, która może być zespolona, nazywa się podatnością elektryczną. Tak więc:

$\mathbf{D}=\varepsilon _{0}\mathbf{E}+\mathbf{P_{e}}=\varepsilon _{0}(1+\chi _{e})\mathbf{E}=\varepsilon \mathbf{E}$

(1-15)

gdzie:

$\varepsilon =\varepsilon _{0}(1+\chi _{e})=\varepsilon" -j\varepsilon""$

(1-16)

jest zespoloną przenikalnością elektryczną ośrodka.
Zespolony zapis dla przenikalności elektrycznej (1-16) może być stosowany tylko w przypadku pól o sinusoidalnej zależności od czasu. Przenikalność elektryczną znormalizowaną względem przenikalności elektrycznej próżni nazywamy zespoloną względną przenikalnością elektryczną:

$\varepsilon _{w}=\frac{\varepsilon }{\varepsilon 0}=1+\chi _{e}=\varepsilon_{w} "-j\varepsilon_{w} ""$

(1-17)

W przypadku statycznym lub przy wolnych zmianach pola wektor polaryzacji elektrycznej jest w przybliżeniu w fazie z wektorem pola elektrycznego. Dla pól szybkozmiennych opóźnienie wektora Pe względem wektora E nie jest pomijalnie małe, wymienione wektory mają różne fazy. Część urojona ε, która opisuje straty w ośrodku (grzanie) wywołane tłumieniem wibracji dipoli i tym samym opóźnienie wektora polaryzacji względem wektora pola elektrycznego, musi być ujemna (ε” jest dodatnie).
Źródłem strat w dielektryku może być również niezerowa konduktywność ośrodka i wtedy istnieje w ośrodku wektor gęstości prądu przewodzenia opisany zależnością:

$\mathbf{J}=\sigma \mathbf{E},$

(1-18)

która jest prawem Ohma z punktu widzenia pola elektromagnetycznego.
Całkowita gęstość prądu (przewodzenia i przesunięcia) w dielektryku, która występuje po prawej stronie drugiego równania Maxwella (1-9), wynosi

$\mathbf{J}_{C}=\mathbf{J}+j\omega \varepsilon \mathbf{E}=\sigma \mathbf{E}+j\omega (\varepsilon "-j\varepsilon "")\mathbf{E}= j\omega \varepsilon" \mathbf{E}+(\sigma +\omega \varepsilon "")$

$=j\omega [\varepsilon "-j(\varepsilon ""+\frac{\sigma }{\omega })]\mathbf{E}$

(1-19)

Z zależności (1-17) wynika, że straty wynikające z tłumienia oscylacji dipoli (ωε”)
i straty wynikające z istnienia prądu przewodzenia (σ) są nierozróżnialne. Wielkość σ+ωε” można traktować jako zastępczą konduktywność ośrodka. Z kolei wielkość ε”+σ/ω można określić jako zastępczą część urojoną przenikalności elektrycznej.
Stratność dielektryka możemy charakteryzować przez podanie tangensa kąta stratności wyrażonego wzorem

$\mathrm{tg} \delta _{\varepsilon }=\frac{\sigma +\omega \varepsilon ""}{\omega \varepsilon "},$

(1-20)

który jest stosunkiem składowej prądu będącego w fazie z polem elektrycznym (ten prąd wywołuje straty mocy fali elektromagnetycznej w ośrodku) do składowej prądu proporcjonalnej do ωε’, odpowiedzialnej za magazynowanie energii pola elektrycznego.
Zwykle dielektryki charakteryzuje się podając stałą dielektryczną, która jest rzeczywistą częścią względnej przenikalności elektrycznej, oznaczaną w literaturze najczęściej jako ε_w (z pominięciem indeksu „’ ”, co może wprawiać w zakłopotanie) oraz tangensa kąta stratności dla określonej częstotliwości.
Dla izotropowych magnetyków można zastosować podobny opis jak dla dielektryków. Zewnętrzne pole magnetyczne porządkuje magnetyczne dipole w materiale wywołując wektor magnetyzacji ośrodka opisany wektorem P_m związanym w ośrodku liniowym z zewnętrznym polem magnetycznym zależnością

$\mathbf{P}_{m}=\mu _{0}\chi _{m}\mathbf{H}$

(1-21)

gdzie zespolona wielkość χ_m nazywa się podatnością magnetyczną.
Wektor indukcji magnetycznej w izotropowym magnetyku wyraża relacja

$\mathbf{B}=\mu _{0}\mathbf{H}+\mathbf{P}_{m}=\mu _{0}(1+\chi _{m})\mathbf{H}=\mu \mathbf{H}$

(1-22)

gdzie

$\mu =\mu _{0}(1+\chi _{m})=\mu "-j\mu ""$

(1-23)

jest zespoloną przenikalnością magnetyczną ośrodka.
Przenikalność magnetyczną znormalizowaną względem przenikalności magnetycznej próżni nazywamy zespolona względną przenikalnością magnetyczną:

$\mu_{w} =\frac{\mu }{\mu _{0}}=1+\chi _{m}=\mu_{w} "-j\mu_{w} ""$

(1-24)

Analogicznie jak dla dielektryków, część urojona μ lub χm opisuje straty w magnetyku wywołane tłumieniem wibracji dipoli magnetycznych i wektor polaryzacji magnetycznej jest opóźniony względem wektora pola magnetycznego. W przypadku ośrodków magnetycznych nie ma magnetycznej konduktancji, ponieważ nie ma magnetycznego prądu przewodzenia.
Przy analizie własności ośrodków magnetycznych uwzględnia się straty magnetyczne wprowadzając, analogicznie jak poprzednio, tangens kąta stratności

$\mathrm{tg} \delta _{m }=\frac{\mu ""}{\mu "},$

(1-25)

Tak więc ośrodki magnetyczne możemy opisać podając część rzeczywistą przenikalności magnetycznej oraz tangens kąta stratności.
Równania Maxwella w formie różniczkowej (1-9) wymagają znajomości wartości brzegowych, aby uzyskać jednoznaczne rozwiązanie w danym ośrodku.