Podręcznik: Równania falowe w dielektryku bezstratnym

1. Wprowadzenie

1.8. Równania falowe w dielektryku bezstratnym

Rozważamy przestrzeń nieograniczoną wypełnioną ośrodkiem liniowym, izotropowym, niedyspersyjnym, jednorodnym i bezstratnym. Zakładamy, że w ośrodku nie ma prądów
i ładunków co oznacza, że wszelkie źródła pól są nieskończenie daleko od rozważanego obszaru.
Parametry ośrodka ε i μ są liczbami stałymi i układ równań Maxwella (1-6) sprowadza się do czterech następujących zależności

$\triangledown \times E =-\mu\frac{\partial H}{\partial t}$

$\triangledown \times H =\varepsilon\frac{\partial E}{\partial t}$

$\triangledown \cdot J =-\frac{\partial \varrho D}{\partial t}$

$\triangledown \cdot E = 0$

$\triangledown \cdot H = 0$

(1-30)

W celu rozwiązania układu równań (1-30), poddajemy pierwsze równanie układu obustronnie rotacji i wstawiamy do uzyskanej zależności drugie z równań (1-30), tak więc

$\triangledown \times\triangledown \times E=-\mu \frac{\partial }{\partial t}\triangledown \times H=-\mu \varepsilon \frac{\partial^2 E}{\partial t^2}$

(1-31)

Lewą stronę równania (1-31) przekształcamy zgodnie z poniższą tożsamością wektorową

$\triangledown \times\triangledown \times E=\triangledown (\triangledown \cdot E)-\triangledown ^{2}E$

(1-32)

i uwzględniamy to, że dywergencja pola E jest równa zeru (trzecie równanie w układzie
(1-30)). W wyniku uzyskujemy równanie falowe dla pola elektrycznego:

${\color{red} {\triangledown ^{2}E-\mu \varepsilon \frac{\partial^2 E}{\partial t^2}=0;}}$

(1-33)

Podobnie, eliminując z układu równań Maxwella wektor E, otrzymujemy równanie falowe spełniane przez wektor pola magnetycznego. Postać tego równania jest analogiczna do równania (1-33).

${\color{red} {\triangledown ^{2}H-\mu \varepsilon \frac{\partial^2 H}{\partial t^2}=0;}}$

(1-34)

Należy zaznaczyć, że układ równań Maxwella nie jest równoważny układowi równań falowych. Równania falowe wynikają z równań Maxwella, ale wynikanie odwrotne nie zachodzi. Z tego względu każde rozwiązanie układu równań Maxwella musi spełniać równania falowe, a wśród wektorów spełniających równania falowe mogą być takie, które nie są rozwiązaniami układu równań Maxwella.
Analiza rozwiązania powyższych równań falowych prowadzi do wniosku, że prędkość rozchodzenia się zaburzenia w przestrzeni określona jest iloczynem $\mu \varepsilon$ , gdyż $v=1/\sqrt{\mu \varepsilon}$ . W próżni jest to prędkość światła $v=1/\sqrt{\mu_0 \varepsilon}_0$ .