Podręcznik: Równania falowe w dielektryku stratnym

1. Wprowadzenie

1.9. Równania falowe w dielektryku stratnym

Utrzymajmy w mocy wszystkie założenia dotyczące ośrodka wypełniającego przestrzeń (liniowość, izotropowość, jednorodność), ale przyjmijmy, że straty występujące w ośrodku opisuje konduktywność σ różna od zera. W tym przypadku układ równań Maxwella przyjmuje postać

$\triangledown \times E =-\mu\frac{\partial H}{\partial t}$

$\triangledown \times H =\sigma E+\varepsilon\frac{\partial E}{\partial t};$

$\triangledown \cdot E = 0$

$\triangledown \cdot H = 0$

(1-35)

Przekształcając równania Maxwella, metodami analogicznymi do stosowanych w poprzednim punkcie, można uzyskać równania falowe dla ośrodka stratnego

$\triangledown^{2} E -\mu \sigma \frac{\partial E}{\partial t}-\mu \varepsilon\frac{\partial^2 E}{\partial t^2}=0;$

$\triangledown^{2} H -\mu \sigma \frac{\partial H}{\partial t}-\mu \varepsilon\frac{\partial^2 H}{\partial t^2}=0;$

(1-36)

Rozwiązanie tych równań w przypadku dowolnej zależności pól od czasu jest skomplikowane
i nie prowadzi do tak prostej interpretacji fizycznej i geometrycznej jak w przypadku ośrodków bezstratnych. Celowym jest przyjęcie, że pola tworzące fale elektromagnetyczną są cosinusoidalnymi funkcjami czasu o ustalonej pulsacji i zastosowanie rachunku zespolonego (w dziedzinie częstotliwości).
Przekształcając równania falowe (1-36) do postaci zespolonej uzyskujemy następujące równania falowe w dziedzinie zespolonej (równania Helmholtza):

$\triangledown^{2} \mathbf{E}-\gamma ^{2}\mathbf{E}=0;$

$\triangledown^{2} \mathbf{H}-\gamma ^{2}\mathbf{H}=0;$

(1-37)

W równaniach pojawia się zmienna zespolona  zwana współczynnikiem propagacji, o fundamentalnym znaczeniu dla opisu zjawiska propagacji fali

$\gamma ^{2}=j\omega \mu (\sigma +j\omega \varepsilon );$

(1-38)

Pamiętamy, że współczynnik propagacji fali w nieograniczonym ośrodku określają wielkości charakteryzujące ten ośrodek.