Podręcznik: Przepływ mocy

4. Propagacja fal w linii długiej

4.5. Przepływ mocy

Postawienie problemu
Kolejny raz wracamy do rys.10.3 i rozważymy zjawiska zachodzące w prostym układzie generator-linia długa-obciążenie. Układ ten powtórnie pokazano na rys.10.9, jednakże z użyciem nieco innych oznaczeń elementów.
Celem rozważań jest określenie mocy występujących w tym prostym układzie. Wyznaczymy:

moce fal pierwotnej i odbitej,
moc wydzieloną w obciążeniu,
maksymalną moc, którą może dostarczyć generator,
warunek, przy którym to może nastąpić.

Rys.10.9. Układ: generator, prowadnica i obciążenie.

Rozważania będą prowadzone przy następujących oznaczeniach i założeniach:

generator reprezentowany parametrami źródła E_G i Z_G,
prowadnica falowa jest jednorodna i bezstratna, opisana przez: Z₀ i $\beta l=2\pi l/\lambda$ :
obciążenie/jednowrotnik charakteryzowany jest przez Z_L, Y_L bądź $\Gamma_L$

Ponadto przyjmiemy, że w prowadnicy rozchodzą się fale o amplitudach U_w i U_p.
Generator mikrofalowy
Generator umieszczony w obwodzie z rys.10.9 jest generatorem idealnym. Pobudza prowadnicę falową monoczęstotliwościowym sygnałem i jest „odseparowany od obciążenia”, co oznacza, że zmiany impedancji obciążenia nie zmieniają warunków generacji, m.in. jego częstotliwości.

Rys.10.10. Generator mikrofalowy. A) Szeregowy obwód zastępczy generatora, B) Obwód równoległy, C) Graf przepływu sygnału.

Na rys.10.10 pokazano trzy różne sposoby opisywania generatora:

Szeregowy obwód zastępczy składa się z: idealnego źródła napięciowego E_G o impedancji wewnętrznej Z_G.
Równoległy obwód zastępczy to źródło prądowe o wydajności I_G i admitancji wewnętrznej Y_G, przy czym wartości I_G i Y_G związane są z E_G i Z_G następująco:

$\mathrm{I_{G}}=\mathrm{\frac{E_{G}}{Z_{G}}};\, \, \mathrm{Y_{G}}=\mathrm{\frac{1}{Z_{G}}};$

(10-38)

Zachowanie się generatora mikrofalowego można także opisać zależnością (10-39), wiążącą amplitudy a_G i b_G fal wypływającej i powracającej do generatora:

$\mathrm{a_{G}}=\mathrm{E+b_{G}\Gamma _{G}};$

(10-39)

$\mathrm{E=\frac{E_{G} \sqrt{Z_{0}}}{Z_{G}+Z_{0}}}=\mathrm{\frac{I_{G} \sqrt{Y_{0}}}{Y_{G}+Y_{0}}}$

(10-40)

$\mathrm{\Gamma _{G}=\frac{Z_{G} -Z_{0}}{Z_{G}+Z_{0}}}=\mathrm{\frac{Y_{0} -Y_{G}}{Y_{G}+Y_{0}}};$

(10-41)

Zależności (10-40) i (10-41) pokazują, że wszystkie trzy formy prezentacji generatora są sobie równoważne, a elementy tych form są ze sobą związane prostymi zależnościami. Miejmy na uwadze, że niezależnie od sposobu prezentacji właściwości generatora dochodzimy do takich samych wyników końcowych.
Moce fal
Jako punkt wyjścia przyjmiemy warunki dopasowanego obciążenia:

$\mathrm{Z_{L}=Z_{0}};\, \, \mathrm{\Gamma _{L}=0};\, \, \mathrm{U _{w}=0};$

(10-42)

W obwodzie płynie fala pierwotna do obciążenia i nie ma fali odbitej. Napięcie na zaciskach obciążenia równe jest:

$\mathrm{U_{L}=U_{p}(1+\Gamma _{L})= U_{p}};$

(10-43)

Moc P_L wydzielona w obciążeniu:

$\mathrm{P_{L}=\frac{\left | U_{p} \right |^{2}}{2Z_{0}}= \frac{\left | U_{p} \right |^{2}Y_{0}}{2}};$

(10-44)

Moc wydzielona w obciążeniu jest mocą niesioną przez falę pierwotną, nie ma fali odbitej, czyli moc fali pierwotnej opisana jest następującym wzorem P₊:

$\mathrm{P_{+}=\frac{\left | U_{p} \right |^{2}}{2Z_{0}}= \frac{\left | a_{L} \right |^{2}}{2}};$

(10-45a)

Przez analogię moc fali odbitej P_-:

$\mathrm{P_{-}=\frac{\left | U_{w} \right |^{2}}{2Z_{0}}= \frac{\left | b_{L} \right |^{2}}{2}};$

(10-45b)

Zauważamy, że w zależnościach (10-44) i (10-45) wprowadziliśmy nowe oznaczenia a i b zwane zespolonymi i znormalizowanymi amplitudami napięć fal i definiowane następująco:

$\mathrm{a=\frac{U_{p}}{\sqrt{Z_{0}}}};\, \, \mathrm{b=\frac{U_{w}}{\sqrt{Z_{0}}}};$

(10-46)

W wielu przypadkach, które zostaną opisane później, wielkości te zostaną wykorzystane do opisu dwuwrotników mikrofalowych.
Moc wydzielona w obciążeniu
Do rozważań w tym punkcie przyjmiemy warunki (10-47).

$\mathrm{Z_{L}\neq Z_{0}} ; \Gamma _{\mathrm{G}}=0;$

(10-47)

Obciążenie jest niedopasowane i część mocy P₊ niesionej przez falę pierwotną/padającą zostaje odbita i jako moc P_- wędruje w stronę generatora. Oznaczając przez P_L moc wydzieloną w jednowrotniku można napisać oczywisty bilans mocy:

$\mathrm{P_{L}=P_{+}-P_{-}};$

(10-48)

Można teraz połączyć ze sobą moce: padającą i wydzieloną w obciążeniu ze współczynnikiem odbicia. Otrzymujemy:

$\mathrm{P_{L}=P_{+}(1-\frac{\left | U_{w} \right |^{2}}{\left | U_{p} \right |^{2}})=P_{+}(1-\left | \Gamma _{L} \right |^{2})};$

(10-49)

Jak widać argument współczynnika odbicia nie ma wpływu na bilans mocy. Do powyższej zależności można dopisać dwie kolejne:

$\mathrm{\frac{P_{-}}{P_{+}}=\left | \Gamma _L \right |^{2}=\left | \Gamma \right |^{2}};$

(10-50)

$\mathrm{\frac{P_{-}}{P_{+}}=\frac{4}{\varrho +1/\varrho +2}};$

(10-51)

Stosunek mocy P_- odbitej do padającej P₊ jest zależny tylko od modułu współczynnika odbicia, co oznacza, że znajomość współczynnika fali stojącej WFS pozwala określić stosunki wszystkich trzech mocy.
Moce w warunkach obustronnego niedopasowania
W tym punkcie przyjmiemy założenie (10-52), że generator i obciążenie są niedopasowane do impedancji charakterystycznej Z₀ prowadnicy falowej.

$\mathrm{\Gamma _{L}\neq 0};\, \, \mathrm{\Gamma _{G}\neq 0};$

(10-52)

Jest to przypadek ogólny i często spotykany. Amplitudy a i b fal pierwotnej i odbitej oznaczone na rys.10.9 powiązane są ze sobą następującymi zależnościami:

$\mathrm{a_{G }=E+\Gamma _{G}b_{G}}; \, \, \mathrm{b_{L}=\Gamma _{L}a_L}$

(10-53)

$\mathrm{a_{L }=a _{G}}e^{j\beta l}; \, \, \mathrm{b_{G }=b _{L}}e^{-j\beta l};$

(10-54)

Wykorzystując te zależności oraz zależność (10-39) opisującą amplitudę fali na wyjściu generatora można skonstruować graf przepływu sygnału pokazany na rys.10.11.

Rys.10.11. Graf przepływu sygnału w obwodzie z rys.10.9.

Na podstawie grafu znajdujemy amplitudę a_L fali padającej na obciążenie:

$\mathrm{a_L}=\frac{\mathrm{E}e^{-j\beta l}}{1-\mathrm{\Gamma _{G}\Gamma _{L}}e^{-j2\beta l}};$

(10-54)

Jak widać z otrzymanej zależności odległość między generatorem a obciążeniem wpływa w istotny sposób na wartość amplitudy $\mathrm{\left | a_L \right |}$ fali, jaka ustali się na skutek odbić od obciążenia i generatora. Moc P+ niesiona przez falę zmieni się w jeszcze szerszych granicach, gdyż z kwadratem amplitudy $\mathrm{\left | a_L \right |}$ , co widać z zależności (10-55), w której $\mathrm{P_{G0}=\left |E \right |^{2}/2}$ jest mocą niesioną przez falę pierwotną w warunkach dopasowania:

$\mathrm{P_{+}=\frac{P_{G0}}{\left | 1-\Gamma _{G} \Gamma _{L}e^{j2\beta l}\right |^{2}}};$

(10-55)

W zależności powyższej P₊ jest > lub < od P_G0; stosunek maksymalnej do minimalnej mocy może zmieniać się w szerokich granicach:

$\mathrm{\frac{P_{+max}}{P_{+min}}}=(\frac{1+\left | \mathrm{\Gamma _{G}\Gamma _{L}} \right |}{1-\left | \mathrm{\Gamma _{G}\Gamma _{L}} \right |});$

(10-56)

Im silniejsze jest obustronne niedopasowanie, im większą wartość ma moduł w tym szerszych granicach zmienia się moc niesiona przez falę padającą na obciążenie i tym samym moc P_L wydzielona w obciążeniu. Moc tą obliczamy opierając się na (10-57):

$\mathrm{P_L=\frac{1}{2}\left ( \left | a_L \right |^{2}- \left | b_L \right |^{2}\right )=\frac{1}{2}\left | a_L \right |^{2}(1-\left | \Gamma _L \right |^{2})};$

(10-57)

Po prostych przekształceniach otrzymujemy:

$\mathrm{P_L=P_{G0}\frac{1-\left | \Gamma _{\mathrm{L}} \right |^{2}}{\left | 1- \Gamma _{\mathrm{G}}\Gamma _{\mathrm{L}}e^{-j2\beta l}\right |}};$

(10-58)

Zależność powyższa jest podstawą do wprowadzenia pojęcia dopasowania energetycznego.
Dopasowanie energetyczne i moc dysponowana generatora
Rozważymy następujący problem: bezstratna linia długa zasilana jest przez generator niedopasowany, dla którego $\mathrm{\left | \Gamma _G \right |>0}$ . Jak dobrać warunki obciążenia generatora, to znaczy jak dobrać $\mathrm{\left | \Gamma _L \right |}$ i długość linii, aby w obciążeniu wydzieliła się maksymalna moc?
Rozwiązanie problemu można znaleźć analizując zależność (10-58). Moc w P_L wydzielona w obciążeniu jest maksymalna, gdy spełniony jest następujący warunek:

$\mathrm{ \Gamma _L }e^{-j2}={\mathrm{\Gamma _G}^{*}};$

(10-33)

(10-59)
Warunek ten nazywamy warunkiem dopasowania energetycznego. Oznacza on, że współczynnik odbicia „widziany” przez generator w jego wrotach wyjściowych powinien być równy sprzężonej wartości jego własnego współczynnika odbicia.
Problem ten był także rozważany w obwodach o stałych skupionych. Zapisany formułą impedancyjną ma znaną postać:

$\mathrm{Z_{L}^{"}=Z_{G}^{*}};$

(10-60)

gdzie Z_L^’ jest impedancją obciążenia widzianą przez generator.
W warunkach dopasowania energetycznego moc P_GA wydzielona w umieszczonym na końcu prowadnicy jednowrotniku jest maksymalna i nazywana mocą dysponowaną generatora (ang. available power).

$\mathrm{P_{GA}=\frac{ P_{G0} }{1-\left | \Gamma _G \right |^{2}}};$

(10-61)

Zależność (10-61) zapisana w formule impedancyjnej/admitancyjnej ma postać:

$\mathrm{P_{GA}=\frac{ \left |E_{G} \right |^{2} }{4Re(Z_{G})}=\frac{ \left |I_{G} \right |^{2} }{4Re(Y_{G})}};$

(10-62)

Znamy teraz dopasowanie dwojakiego rodzaju:

dopasowanie impedancji obciążenia Z_L do impedancji charakterystycznej Z₀ prowadnicy falowej, co jest równoznaczne warunkowi bezodbiciowości,
dopasowanie impedancji obciążenia Z_L do impedancji wewnętrznej generatora Z_G, co jest warunkiem dopasowania energetycznego.

Powinniśmy umieć odróżniać opisane warunki dopasowania i analizując kolejne problemy właściwie je interpretować. Warunkom dopasowania poświęcone będą oddzielne wykłady, gdyż umiejętność dopasowania odgrywa w technice mikrofalowej dużą rolę.