Podręcznik Grafika komputerowa i wizualizacja

Zakłada się, że węzły t_i są uporządkowane niemalejąco tzn. t_i ≤ t_i+1  co oznacza, że mogą istnieć równe węzły (wielokrotne). Przyjmuje się wtedy, że 0/0=0. Takie założenia generalnie definiują krzywą dla węzłów które nie musza być równoodległe. Jednocześnie możliwość dodania (wstawienie) węzła pomiędzy dwa już istniejące, lub zwielokrotnienia węzła daje dodatkowe możliwości wpływania na kształt krzywej. Czasami jednak rozpatruje się krzywe o węzłach równoodległych.

Istnieje algorytm de Boora i Coxa wyznaczania punktów krzywej B-sklejanej (analogiczny do algorytmu de Casteljau dla krzywej Béziera) [3]. Jeśli wyznaczanych jest wiele punktów krzywej to tańszym rozwiązaniem będzie obliczenie współczynników postaci naturalnej wielomianu w kolejnych podprzedziałach i skorzystanie z algorytmu Hornera.

Właściwości krzywych B-sklejanych

Pierwsza właściwość – zerowanie funkcji sklejanej poza przedziałem    jest bardzo istotna dla modelowania kształtu. Oznacza bowiem lokalność wpływu parametrów (rys.7.9). Rozpatrzmy podprzedział   dla    niezerowe są tylko funkcje   o indeksach i=j-m, j-m+1, j-m+2,   j . W takim przedziale wartość Q(t) , a tym samym kształt krzywej, zależy tylko od punktów kontrolnych P_j-m , P_j-m+1 , P_j-m+2 , … P_j . Z drugiej strony punkt kontrolny P_i wpływa jedynie na fragment krzywej odpowiadający   .

Indeks j zmienia się od 0 do m , natomiast i od 0 do n . Cały zakres takiej krzywej definiują więc węzły:  . Ale danych jest n+1 punktów kontrolnych (de Boora). Punkty P₀ , P₁, P₂ , … P_m  definiują krzywą dla   , natomiast punkty P_n-m, P_n-m+1, P_n-m+2,…P_n  definiują krzywą dla   . Węzły   oraz   nazywane są węzłami brzegowymi. Jeśli krzywa jest otwarta, to znaczy   , i   oraz   to krzywa przechodzi przez końcowe punkty kontrolne, czyli   .

Podobnie jak było w przypadku krzywych Béziera, styczne do krzywej w punktach końcowych mają kierunek końcowych odcinków łamanej kontrolnej. Dla krzywej zamkniętej przyjmuje się, że punkty de Boora i węzły kontrolne są cykliczne (P_n=P₀).

Jest spełniony warunek wypukłej skorupki (krzywa zawiera się całkowicie w wypukłej skorupce zbudowanej na punktach kontrolnych), ale tylko w sąsiedztwie punktów !

Wymierne krzywe B-sklejane (ang. Non-Uniform Rational B-Splines) to rozwiązanie, które łączy zalety krzywych Béziera i krzywych B-sklejanych. Krzywe te opisane są w sposób następujący:

Punkty   P_i  (de Boora ) są  punktami kontrolnymi, w_i są wagami tych punktów.