Podręcznik Grafika komputerowa i wizualizacja

Krzywe Béziera są zdefiniowane w bazie wielomianów Bernsteina. Ich właściwości mają decydujący wpływ na właściwości krzywych.

Wielomiany Bernsteina są zdefiniowane w następujący sposób:

                            dla      

Podstawowe właściwości:

Rys. 7.4. Wykresy wielomianów Bernsteina 2, 3, 4 i 5 stopnia.

Ostatnia właściwość (zależność rekurencyjna) prowadzi do algorytmu wyznaczania punktów na krzywej bazującej na wielomianach Bernsteina.

 Najczęściej mamy do czynienia z wielomianami stopnia 3. W tym przypadku:

Krzywą Béziera opisuje następujące równanie parametryczne:                     
                        punkty Beziera 

 Rys. 7.5. Przykłady krzywych Béziera

Krzywa Béziera zawdzięcza swą nazwę Pierre’owi Bézierowi, warto jednak pamiętać, że rozwiązanie to miało dwóch niezależnych twórców. Drugim był P. de Casteljau. Jego nazwiskiem został opatrzony podstawowy algorytm wyznaczania punktu krzywej.

Krzywa Béziera stopnia n jest definiowana przez n+1 punktów P₀, P₁, P₂,…P_n  w bazie wielomianów Bernsteina. Jest to krzywa gładka, której kształt zależy od położenia punktów kontrolnych. Najczęściej stosowane są krzywe stopnia 3. Użytkownicy komputerów spotykają się z nimi na co dzień w postaci fontów, których kształt jest najczęściej projektowany właśnie z  wykorzystaniem krzywych Béziera stopnia 3.

Właściwości krzywych Béziera

    for i:= 0 to n do P_i,0 = P_i;

    for j:=1 to n do

                for i:=j to n  do

                            P_i,j := (1-t)^.P_i-1,j-1 + t^.P_i,j-1;

Jeśli zadaniem jest wyznaczenie dużej liczby punktów leżących na krzywej Béziera to tańszym obliczeniowo rozwiązaniem będzie przejście w wielomianach Bernsteina do postaci naturalnej wielomianu i obliczanie jego wartości algorytmem Hornera.

Rys.7.7. Łączenie krzywych Béziera: a) bez zachowania ciągłości, b) z zachowaniem
ciągłości geometrycznej, c) z zachowaniem ciągłości parametrycznej.

W praktyce rzadko kiedy używa się krzywych Béziera wysokiego stopnia. Ponieważ każdy punkt krzywej Béziera zależy od wszystkich punktów kontrolnych, więc w takiej sytuacji trudno byłoby kontrolować kształt krzywej. O wiele prościej jest złożyć całą krzywą z fragmentów, każdy niskiego stopnia.

 Rozpatrzmy dwa segmenty krzywych (rys.7.7)  P₀ , P₁  , P₂ , P₃  i  R₀ , R₁ , R₂ , R₃ , połączone w punkcie P₃ = R₀ . 

Jeżeli punkty P₂ , P₃ = R₀ , R₁ są współliniowe mówimy o ciągłości geometrycznej G¹ krzywej (rysunek 7.7 b).

Jeżeli punkty P₂ , P₃ = R₀ , R₁ są współliniowe i sąsiednie odcinki łamanej są równej długości
odległość ( P₂ , P₃) = odległość (R₀ , R₁) to mówimy o ciągłości parametrycznej C¹ krzywej (rysunek 7.7 c). 

Wymierne krzywe Béziera

Wymierna Krzywa Beziera opisana jest w sposób następujący:

 dla 

gdzie    P_i   punkty Beziera  natomiast w_i wagi tych punktów. Wartość wagi wpływa na kształt krzywej niezależnie od położenia punktu kontrolnego.

Krzywe wymierne Béziera opisane są w przestrzeni jednorodnej. Oznacza to, że analogicznie do przekształceń geometrycznych opisanych macierzowo w przestrzeni jednorodnej, krzywe płaskie będą opisane w R³, natomiast krzywe trójwymiarowe będą opisane w przestrzeni R⁴.   

Krzywa taka ma następujące cechy:

• Dana krzywa może mieć nieskończenie wiele reprezentacji we współrzędnych jednorodnych. Pomnożenie wszystkich wag przez tę samą stałą różną od zera nie zmienia krzywej.
• Krzywa wymierna jest uogólnieniem krzywej wielomianowej. Dla równej wartości wszystkich wag otrzymujemy krzywą wielomianową Béziera.
• Jeśli wszystkie wagi są tego samego znaku (wszystkie dodatnie lub wszystkie ujemne), to punkty krzywej leżą w wypukłej otoczce zbioru punktów kontrolnych.
• Jeśli w₀ ≠ 0  to P(0)=P₀  oraz jeśli w_n ≠ 0  to P(1)=P_n  .
• Konstrukcja krzywej wymiernej jest niezmiennicza afinicznie. Krzywa wyznaczona na podstawie ciągu punktów kontrolnych jest taka sama jak krzywa wyznaczona na podstawie ciągu punktów kontrolnych poddanych przekształceniom afinicznym.
• Zmieniając odpowiednio wagi można uzyskać wszystkie krzywe stożkowe. Ta cecha była nieosiągalna w przypadku krzywych wielomianowych Béziera.

 Analogicznie do zwykłej krzywej Béziera, dla krzywej wymiernej istnieje wymierny algorytm de Casteljau wyznaczania punktu na krzywej. Opis algorytmu można znaleźć w książce P.Kiciaka [5].

Dla trzech niewspółliniowych punktów P₀ , P₁ , P₂  jeśli w₀=w₂=1 , to waga w₁ określa rodzaj krzywej stożkowej :

w₁ >1                -  łuk hiperboli
w₁ =1                -  łuk paraboli (krzywa wielomianowa)
0<w₁ <1           -  krótszy łuk elipsy (lub okręgu)
w₁ =0                -  odcinek    (sparametryzowany  ze zmienną prędkością)
-1 <w₁ <0         -  dłuższy łuk elipsy (lub okręgu)

Rys. 7.8. Okrąg reprezentowany w postaci dwóch krzywych wymiernych Béziera.