Podręcznik: Przypadek oscylacyjny

5. Stan nieustalony w obwodzie RLC przy załączeniu napięcia stałego

5.4. Przypadek oscylacyjny

Przypadek oscylacyjny zmian prądu i napięć w obwodzie szeregowym RLC występuje przy spełnieniu warunku $R$ a więc przy małych wartościach rezystancji $R$ . W tym przypadku oba bieguny są zespolone. Dla wyznaczenia postaci czasowej prądu wygodniej jest zastosować metodę tablic transformat. W tym celu należy przekształcić wyrażenie na prąd operatorowy w taki sposób, aby doprowadzić je do postaci występującej w tablicy 12.1. Dla zadanej postaci prądu przekształcenia te są jak następuje

$I(s)=\frac{E/L}{s^2+\frac{R}{L}s+\frac{1}{LC}}=\frac{\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}}{\left(s+\frac{R}{2L}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}\right)^2}\cdot\frac{E/L}{\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}}$

(5.16)

Wprowadźmy oznaczenie

$\omega=\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}$

(5.17)

Wielkość $\omega$ jest pulsacją drgań własnych obwodu RLC występujących w przypadku oscylacyjnym. Wykorzystując tablicę transformat 12.1 możemy uzyskać postać czasową prądu w obwodzie. Można ją zapisać w postaci

$i(t)=\frac{E}{\omega L}e^{-\frac{R}{2L}t}sin{(}\omega t)$

(5.18)

Prąd w przypadku oscylacyjnym opisany jest funkcją sinusoidalną o amplitudzie zmieniającej się według funkcji wykładniczej. Czynnik $e^{-\frac{R}{2L}t}$ stanowi tłumienie przebiegu sinusoidalnego a jego wartość jest proporcjonalna do wartości rezystancji obwodu $RLC$ . Odwrotność współczynnika tłumienia charakteryzuje stałą czasową $\tau=\frac{2L}{R}$ obwodu $RLC$ z jaką tłumione są drgania sinusoidalne.
Wykorzystując podstawowe relacje zachodzące między zmiennymi w obwodzie szeregowym $RLC$ można wyznaczyć pozostałe napięcia w obwodzie w stanie nieustalonym. W przypadku cewki napięcie uzyskuje się przez zróżniczkowanie funkcji opisującej prąd ładowania.

$u_L(t)=L\frac{di}{dt}=-\frac{E}{\omega\sqrt{LC}}e^{-\frac{R}{2L}t}sin{(}\omega t-\phi)$

(5.19)

gdzie kąt $\phi$ jest określony relacją

$\phi=arctg{\frac{\omega}{R/2L}}$

(5.20)

Napięcie na kondensatorze wyznaczyć można bezpośrednio z prawa napięciowego Kirchhoffa zastosowanego do obwodu rzeczywistego z rys. 5.1

$u_C(t)=E-u_L(t)-Ri(t)=E-\frac{E}{\omega L}e^{-\frac{R}{2L}t}\left[Rsin{(}\omega t)-\sqrt{\frac{L}{C}}sin{(}\omega t-\phi)\right]$

(5.21)

Na rys. 5.7 przedstawiono przebiegi prądu i napięć w stanie nieustalonym w obwodzie $RLC$ przy wystąpieniu przypadku oscylacyjnego, czyli przy $R$ .

Rys. 5.7. Przebiegi czasowe w obwodzie $RLC$ dla przypadku oscylacyjnego

Przebieg prądu ma charakter sinusoidalny, tłumiony wykładniczo do zera. Obwiednie przebiegu prądu są wyznaczone funkcjami $f(t)=\pm\frac{E}{\omega L}e^{-\frac{R}{2L}t}$ . Przy zasilaniu obwodu $RLC$ napięciem stałym wytworzyły się drgania własne o pulsacji $\omega=\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}$ . Pulsacja ta zależy wyłącznie od parametrów obwodu $RLC$ . Głównym czynnikiem regulującym wartość pulsacji wobec małej wartości rezystancji R dla przypadku oscylacyjnego jest wartość indukcyjności $L$ oraz pojemności $C$ . Przy danych wartościach $L, C$ i regulowanej rezystancji, pulsacja rośnie przy malejącej wartości rezystancji .
Drgania w obwodzie powstają na skutek wymiany energii między polem elektrycznym kondensatora a polem magnetycznym cewki. Na skutek skończonej wartości rezystancji zachodzi rozpraszanie energii w postaci ciepła wydzielanego na rezystorze. Stąd oscylacje powstające w obwodzie mają charakter malejący. Szybkość tłumienia określa stała tłumienia $\alpha=\frac{R}{2L}$ . Im większa wartość rezystancji tym większe tłumienie w obwodzie i szybsze zanikanie drgań sinusoidalnych do zera.
Na rys. 5.8 przedstawiono przykładowe przebiegi ładowania kondensatora w obwodzie $RLC$ dla przypadków oscylacyjnych przy zmieniającej się wartości rezystancji.

Rys. 5.8. Przebiegi napięcia na kondensatorze dla przypadku oscylacyjnego przy zmieniającej się wartości rezystancji

Widoczne jest, że im mniejsza wartość rezystancji tym dłużej trwa stan przejściowy w obwodzie. Wobec małych wartości rezystancji wynikających z warunku występowania przypadku oscylacyjnego jej wpływ na częstotliwość drgań własnych obwodu (wzór 5.17) jest stosunkowo niewielki.
Należy podkreślić, że jakkolwiek wyrażenia analityczne opisujące przebiegi czasowe w obwodzie dla różnych przypadków tłumienia są znacznie różniące się miedzy sobą, wszystkie reprezentują charakter ciągły. Poszczególne przypadki przechodzą w siebie nawzajem przy ciągłej zmianie wartości rezystancji. Przy małej rezystancji tłumienie jest małe i przebieg prądu oraz napięć jest oscylacyjny, tłumiony wykładniczo. Wzrost wartości rezystancji powoduje wzrost tłumienia, drgania trwają krócej aż przy pewnej wartości krytycznej $R_{kr}=2\sqrt{\frac{L}{C}}$ przechodzą w przebieg aperiodyczny (krytyczny), przy którym nie obserwuje się już drgań. Dalszy wzrost rezystancji niewiele zmienia w charakterze jakościowym przebiegów poza wydłużeniem stanu przejściowego. Ilustrację powyższego zjawiska na przykładzie napięcia $u_C(t)$ w obwodzie przedstawiono na rys. 5.9.

Rys. 5.9. Przebiegi napięcia na kondensatorze w obwodzie RLC przy ciągłej zmianie wartości rezystancji