Podręcznik

Jednym z fundamentów matematyki jest bez wątpienia teoria mnogości, a jej podstawowym elementem jest pojęcie zbioru. Nie wdając się w zbyt formalne rozważania, przeliczalny zbiór Z możemy określić w postaci enumeratywnej np. jako podzbiór złożony z n elementów $x_i\in X$.

Z oczywistych powodów powyższy zapis jest użyteczny tylko wówczas gdy liczba $n$ elementów zbioru Z jest niewielka. Ten sam zbiór Z można określić również w postaci:

gdzie: $W(x)$ jest pewną właściwością elementów zbioru $Z$. Właściwość $W(x)$ pozwala na przyporządkowanie do zbioru $Z$ tych elementów zbioru $X=\left\{x\right\}$, które spełniają warunek $W(x)$.

Innym sposobem notacji zbioru $Z$ jest zdefiniowanie jego funkcji charakterystycznej. Funkcją charakterystyczną zbioru $Z$ jest taka funkcja $\phi(x)$, która każdemu elementowi zbioru $Z$ przypisuje wartość 1 lub 0 zależnie od tego czy element ten należy ($\phi(x)=1$), czy też nie należy ($\phi(x)=0$) do tego zbioru.

taka, że:

Stąd równoważną formą notacji zbioru $Z$ z funkcją charakterystyczną jest zbiór par:

Jak więc widzimy dwuwartościowa funkcja charakterystyczna pozwala na wskazanie, które z elementów zbioru $X$ należą, a które nie należą do zbioru $Z$.

Zważmy dalej, że definicje (1), (3) i (7) są definicjami ściśle określonymi. W praktyce używa się jednak pewnych sformułowań i pojęć określonych w sposób nieścisły np: "wysokie ciśnienie", "średni wzrost", "niska inflacja", "niewielka odchyłka regulacji" itp. I tu pojawia się pytanie, czy tak nieprecyzyjne sformułowania można w jakikolwiek sposób wyrazić w sposób sformalizowany? Jeśli założymy, że tak to jak łatwo zauważyć natychmiast pojawiają się następne trudności, bowiem pod pojęciem "duża masa" będziemy rozumieli prawdopodobnie zupełnie coś innego w odniesieniu do przysłowiowej myszy i słonia. W naturalny sposób pojęcie "duża masa" wyraża w jakiś sposób zrelatywizowaną informację odwołując się do relacji pomiędzy pewną właściwością obiektu (masą), a pomiędzy pewną właściwością uznaną za normatywną (wzorcową lub odniesienia), przy czym zarówno jedna jak i druga nie muszą być zawsze zdefiniowane precyzyjnie. Ocena zatem co jest "duże", a co "małe" jest oceną z jednej strony zrelatywizowaną, z drugiej zaś oceną subiektywną w tym sensie, że zależy nie tylko od przyjętej normy relacji, ale również pewnej formy wnioskowania przyjętego w trakcie dokonywania oceny.

Np.: czy "wysoki wzrost mężczyzny" to: 180cm, czy 190cm, a może 200cm. Widać wyraźnie, że zaliczenie mężczyzny o wzroście 180cm do grupy mężczyzn o wysokim wzroście niekoniecznie musi być jednoznaczne przez wszystkich oceniających, a jeśli już, to jest uwarunkowane miejscem i czasem oceny. Oczywiście można tutaj wprowadzić ścisłą granicę uznając, że każdy z mężczyzn o wzroście powyżej 180cm jest wysokim mężczyzną, a każdy, którego wzrost jest poniżej 180cm jest już mężczyzną o niskim wzroście. Cóż wtedy powiedzą mężczyźni o wzroście 179cm, którzy będą mogli poczuć się urażeni.

Na Olimpiadzie Zimowej w 2002 r. w Salt Lake City w konkursie drużynowym skoków narciarskich złoty medal zdobyła drużyna niemiecka. Zwycięstwo osiągnęła zdobywając 740,1 punktów to znaczy zaledwie o 0,1 punktu więcej niż druga w kolejności drużyna fińska. W przeliczeniu na metry daje to wynik różniący się o 5 cm. Pomiary w konkursach skoku wykonywane są z rozdzielczością 0,5m. Czy drużyna fińska może poczuć się rozczarowana takim rozstrzygnięciem jury? Wydaje się że tak, ponieważ właściwsze byłoby rozstrzygnięcie ex aequo. Pojawia się w związku z tym pytanie, czy w związku z tym dyskretna ocena jest uzasadniona we wszystkich przypadkach?

W 1965 roku Zadeh [1] wprowadził pojęcie zbioru rozmytego. Analogicznie do (8) zbiór rozmyty $A$ został określony w pewnej przestrzeni $X$ zwanej dalej przestrzenią rozważań. Zbiór rozmyty $A$ można przedstawić w postaci zbioru par:

gdzie:

jest funkcją przynależności, która każdemu elementowi przestrzeni $X$ przyporządkowuje stopień przynależności $\mu_A(x)$ do danego zbioru rozmytego $A$ począwszy od całkowitej nieprzynależności ($\mu_A(x)=0$), przez przynależność częściową ($0$), aż do przynależności całkowitej ($\mu_A(x)=1$). W odróżnieniu od funkcji charakterystycznej, w której mamy do czynienia albo z "całkowitą nieprzynależnością" albo z "całkowitą przynależnością", występuje tutaj przypadek przynależności częściowej. Dla ilustracji załóżmy, że funkcja przynależności zbioru rozmytego $WM$ ("wysoki mężczyzna") ma postać jak na rysunku poniżej.

Przebieg funkcji przynależności z rysunku powyżej można interpretować następująco: mężczyznę o wzroście poniżej 150 cm na pewno nie można zaliczyć do grupy mężczyzn wysokich. Do grupy wysokich, z całą pewnością zaliczymy tych mężczyzn, których wzrost przekracza 200 cm. Mężczyzna o wzroście 180 cm jest w znacznym stopniu mężczyzną wysokim, a stopień przynależności tego mężczyzny do grupy wysokich mężczyzn może być odczytany bezpośrednio z przebiegu funkcji przynależności. Zwróćmy dalej uwagę, że funkcja przynależności ma w tym przypadku charakter czysto subiektywny. Jej przebieg zależy nie tylko od miejsca, czasu i osoby definiującej tę funkcję. Zwróćmy także uwagę, że dyskretna funkcja przynależności jest przypadkiem zdegenerowanymi i szczególnym funkcji ciągłej, a zatem definicję zbioru o postaci (10) należy uznać za bardziej ogólną od definicji (8).

Z podanych przykładów wynika, że funkcja przynależności może mieć postać zarówno funkcji ciągłej, nieciągłej lub przedziałami ciągłej.