Podręcznik: Rozmyty regulator typu PID

4. Przykłady regulatorów rozmytych

4.6. Rozmyty regulator typu PID

Transmitancja operatorowa idealnego liniowego regulatora PID dana jest równaniem:

$G(s)=k_p\left(1+\frac{1}{T_is}+T_{d}s\right)$	(149)

Ponieważ w naszym przypadku:

$G(s)=\frac{V(s)}{E(s)}$	(150)

gdzie: $E(s)$ i $V(s)$ są odpowiednio transformatami Laplace'a wejścia i wyjścia regulatora. Po uwzględnieniu (149) i (150) otrzymujemy:

$V(s)=k_p\left(1+\frac{1}{T_is}+T_{d }s\right)E(s)$	(151)

Stosując odwrotną transformatę Laplace'a, przy zerowych warunkach początkowych, otrzymujemy:

$v(t)=k_p\cdot e(t)+k_i\cdot \int_0^t e(t)dt+k_d\cdot\frac{de(t)}{dt}$	(152)

gdzie: $k_p$ - współczynnik wzmocnienia proporcjonalnego, $k_i=k_p/T_i$ - współczynnik członu całkującego, $k_d=k_p\cdot T_d$ - współczynnik członu różniczkującego.

Różniczkując obustronnie równanie (152) otrzymujemy:

$\frac{dv(t)}{dt}=k_p\cdot \frac{de(t)}{dt} + k_i\cdot e+k_d\cdot \frac{d^2e(t)}{dt^2}$	(153)

co prowadzi do wniosku, że działanie regulatora PID polega na tym że:

zmiana sygnału wyjściowego regulatora typu PID jest proporcjonalna do prędkości zmian odchyłki regulacji (akcja proporcjonalna) jak również do wartości tej odchyłki (akcja całkująca) oraz jej przyśpieszenia (akcja różniczkująca).

W systemach z czasem dyskretnym z okresem impulsowania $\Delta t$ równanie (153) przybiera postać równania różnicowego:

$\Delta v=K_p \cdot \Delta e + K_{i}\cdot e+K_D\cdot \Delta(\Delta e)$	(154)

gdzie: $K_p=k_P$ ; $K_i=k_I\cdot \Delta t$ ; $K_d=k_D⁄\Delta t$ ; $\Delta t=cont=1$ .

Równanie (154) stanowi podstawę do sformułowania reguł sterowania rozmytego regulatora typu PID. Reguły te można zapisać w postaci ogólnej:

$jezeli\; (e=E)\cap(\Delta e=\Delta E)\cap(\Delta(\Delta e)=\Delta(\Delta E))\; to\; (\Delta v=\Delta V)$	(155)

gdzie: $E$ , $\Delta E$ , $\Delta (\Delta E)$ , $\Delta V$ , - są odpowiednio zmiennymi lingwistycznymi <odchyłka regulacji>, <zmiana odchyłki regulacji>, <zmiana zmiany odchyłki regulacji> i <zmiana wyjścia regulatora>.

Wyjście dyskretnego regulatora PID wyznaczymy w sposób analogiczny jak dla regulatora PI.

$v=\sum_{i=1}^k \left\{k_{P}(e_i-e_{i-1})+k_I\cdot e_i+k_{D}\cdot (e_{i}-2e_{i-1}+e_{i-2})\right\}+v_0$	(156)

Projekt rozmytego regulatora typu PID.

Zgodnie z procedurą przedstawioną w podrozdziale 3.1, syntezę bazy reguł rozmytego regulatora typu PID przeprowadzimy w trzech krokach.

Krok 1 (formalny)

Załóżmy regulator typu PID o strukturze MISO. Wejściami regulatora będą: odchyłka regulacji $e$ , prędkość odchyłki regulacji $\Delta e$ oraz przyśpieszenie odchyłki regulacji $\Delta^2e$ . Wyjściem regulatora będzie zmiana sygnału sterującego (nastawiającego) regulatora $\Delta v$ . Przyporządkujmy zmiennej lingwistycznej <odchyłka regulacji> symbol $e$ , zmiennej lingwistycznej <prędkość odchyłki regulacji> symbol $\Delta e$ , zmiennej lingwistycznej <przyśpieszenie odchyłki regulacji> symbol $\Delta^2e$ , zaś zmiennej lingwistycznej <zmiana wyjścia sterującego> symbol $\Delta v$ .

Załóżmy dalej, że zmiennej $e$ przyporządkowano dwie wartości <odchyłka ujemna> i <odchyłka dodatnia>. Wartościom tym nadano nazwy symboliczne: $N_e$ i $P_e$ . W podobny sposób zmiennej <prędkość odchyłki regulacji> $\Delta e$ przyporządkowano wartości <prędkość ujemna odchyłki regulacji> i <prędkość dodatnia odchyłki regulacji>. Wartościom tym nadano także nazwy symboliczne: $N_{\Delta e}$ i $P_{\Delta e}$ . Zmiennej <przyśpieszenie odchyłki regulacji> $\Delta^2e$ przyporządkowano wartości <przyśpieszenie ujemne odchyłki regulacji> i <przyśpieszenie dodatnie odchyłki regulacji>. Wartościom tym nadano nazwy symboliczne: $N_{\Delta^2e}$ i $P_{\Delta^2e}$ . Zmiennej $\Delta v$ przyporządkowano wartości <ujemna zmiana sterowania>, <zerowa zmiana sterowania> i <dodatnia zmiana sterowania>. Wartościom tym nadano odpowiednio nazwy symboliczne $N_{\Delta v}$ , $Z_{\Delta v}$ i $P_{\Delta v}$ . Ogólny schemat struktury rozmytego regulatora PID przedstawiono na Rys. 39.

Rys. 39. Schemat ogólny struktury rozmytego regulatora typu PID.

Krok 2 (projekt zbiorów rozmytych)

Załóżmy, że kształt zbiorów rozmytych wejść i wyjścia regulatora PID będzie identyczny jak dla regulatora PI (rys. 35), jedynie z tą różnicą, że dodatkowo wprowadzimy funkcje przynależności $\mu_N(\Delta^2e)$ i $\mu_P(\Delta^2e)$ , które będą się pokrywały z funkcjami $\mu_N(\Delta e)$ i $\mu_P(\Delta e)$ .

Krok 3 (projekt bazy reguł)

Posiłkując się znajomością ogólnej reguły warunkowej 154 regulatora rozmytego typu PID oraz mając na uwadze zarówno kształt funkcji przynależności jak na Rys. 35 z uwagą sformułowaną w kroku nr 2 oraz dodatkowo biorąc pod uwagę ogólne wnioski z rozważań przeprowadzonych w podrozdziale 3.1, zbudujemy zupełną bazę reguł modelu regulatora rozmytego. W przypadku rozważanego regulatora typu PID mamy do czynienia z układem o trzech wejściach (i=3) i jednym wyjściu. Wejściom przyporządkowano odpowiednio: $n_1=n_2=n_3=2$ zbiorów rozmytych. Stąd, liczba reguł bazy zupełnej zgodnie ze wzorem (102) wynosi: $r=1\cdot (2\cdot 2\cdot 2)=8$ . Tabelę reguł dla tego regulatora przedstawiono na Tab. 15.

Zwróćmy uwagę, że znaczna liczba reguł w tej tabeli generuje identyczne wnioski. Takie reguły, które mają różne poprzedniki lecz identyczne następniki będziemy nazywali regułami alternatywnymi. Wnioski generowane przez reguły alternatywne podlegają agregacji mnogościowej w procesie wnioskowania zgodnej ze schematem Mamdaniego.

Reguły o identycznych poprzednikach, lecz różnych następnikach są regułami sprzecznymi. Reguły takie mogą być generowane np. w systemach automatycznego wydobywania reguł z dużych zbiorów danych np. metodą Wanga-Mendela [7]. Reguły sprzeczne są ewaluowane w celu wyłonienia spośród wielu tylko jednej, którą w świetle danej metody uznaje się za najbardziej wiarygodną.

Tabela 14 zawiera reguły alternatywne. Wszystkie reguły w tej tabeli nie są sprzeczne. Reguły alternatywne w tej tabeli są bardziej konserwatywne niż agresywne. Reguły agresywne forsują silną zmienność następnika reguły przy dowolnej zmianie poprzednika. Reguły konserwatywne niekoniecznie. Zwróćmy dla przykładu uwagę na reguły nr 2 i 3. W tym przypadku silna zmiana przyśpieszenia w regule numer 3 w stosunku do reguły nr 2 nie wywołała żadnej zmiany sterowania.

Zwróćmy także uwagę na dostrzegalny w tej tabeli efekt kompensacji wpływów poprzedników na wartość następnika. Tylko jednoimienne termy zbiorów rozmytych poprzedników reguł generują współbrzmiące wyjście (por. reguły nr 1 i 8). Można potraktować tę obserwację także jako prostą regułę mnemotechniczną.

Tabela 15: Tabela sterowań rozmytych regulatora typu PD.
Reguła	$\Delta e$	$e$	$\Delta^2e$	$\Delta v$
1	$N_{\Delta e}$	$N_e$	$N_{\Delta^2e}$	$N_{\Delta v}$
2	$N_{\Delta e}$	$N_e$	$P_{\Delta^2e}$	$Z_{\Delta v}$
3	$N_{\Delta e}$	$P_e$	$N_{\Delta^2e}$	$Z_{\Delta v}$
4	$N_{\Delta e}$	$P_e$	$P_{\Delta^2e}$	$Z_{\Delta v}$
5	$P_{\Delta e}$	$N_e$	$N_{\Delta^2e}$	$Z_{\Delta v}$
6	$P_{\Delta e}$	$N_e$	$P_{\Delta^2e}$	$Z_{\Delta v}$
7	$P_{\Delta e}$	$P_e$	$N_{\Delta^2e}$	$Z_{\Delta v}$
8	$P_{\Delta e}$	$P_e$	$P_{\Delta^2e}$	$P_{\Delta v}$

Zwróćmy także uwagę, że jeśli w równaniu (154) dokonamy podstawienia $\Delta e=0$ i $\Delta (\Delta e)=0$ , to regulator PID ulegnie przekształceniu do regulatora typu P. Wówczas zmiana sygnału wyjściowego będzie wprost proporcjonalna wyłącznie do zmiany odchyłki regulacji co jest charakterystyczną cechą tego typu regulatora.

$\Delta v=K_p\cdot \Delta e$	(157)

Technicznie przekształcenie regulatora PID do regulatora typu P polega na wyeliminowaniu z Tab. 15 kolumn $\Delta e$ i $\Delta^2 e$ .

Podobnie regulator PID może być przekształcony do regulatora typu PI lub PD jeśli wyeliminujemy z Tab. 1 kolumnę $\Delta^2e$ . Pamiętajmy, że w tym przypadku, mimo, że tabele reguł są dla obu regulatorów identyczne, to różnią się one strukturami (por. Rys. 34 i 38).

Z powyższych rozważań wynika uwaga o dużym znaczeniu praktycznym w przypadku implementacji algorytmów regulacyjnych. Wystarcza bowiem zaimplementować jedną ogólną procedurę regulatora rozmytego. Wywołanie takiej procedury z różnymi zestawami parametrów formalnych generuje różne typy regulatorów (P, PI, PD, PID).