Podręcznik: Wnioskowanie bazujące na zbiorze reguł

5. Implikacja Takagi-Sugeno

5.2. Wnioskowanie bazujące na zbiorze reguł

Takagi i Sugeno zaproponowali niezwykle prosty schemat wyostrzania rozmytych wniosków cząstkowych generowanych przez wszystkie reguły zbioru reguł. Motywacją do propozycji takiego sposobu było następujące rozumowanie, które obaj autorzy wyłożyli w [9]. W zadaniach modelowania bazujących na danych istotne są dwa elementy. Jednym z nich jest narzędzie matematyczne prowadzące do definicji tego modelu, a drugim jest metoda identyfikacji parametrów tego modelu. Zdaniem Takagi i Sugeno narzędzie matematyczne powinno być proste i mieć charakter generalizujący.

Zwróćmy uwagę, że jeśli wnioski rozmyte wyprowadzone na podstawie wnioskowania bazujących pojedynczych reguł uznamy za racjonalne to wniosek oparty na zbiorze reguł, a więc na zbiorze wniosków cząstkowych może być wyznaczony w prostu sposób jako arytmetyczna suma ważona tych wniosków:

$y^*=\frac{\sum_{i=1}^{n}y_i\cdot \mu_i}{\sum_{i=1}^{n}y_i }$	(161)

Właśnie ten sposób wyostrzania wniosków ze zbioru reguł został przyjęty przez Takagi i Sugeno. Zwróćmy także uwagę, że jest to sposób identyczny jak w przypadku wyostrzania w metodzie wnioskowania Mamdaniego metodą COG, COS i COLA dla przypadku gdy wyjścia reguł mają kształt singletonów.

W przypadku szczególnym wnioskowania opartego wyłącznie na jednej regule wzór (161) przybiera postać:

$y^*=y$	(162)

W związku z tym, po wyostrzeniu wniosku z reguły (159) w przykładzie 28 otrzymujemy ostatecznie: $\Delta v^*=0,3$ .

Ogólny algorytm wnioskowania Takag-Sugeno sprowadzić można do trzech zasadniczych kroków:

Krok 1: Wyznaczenie stopnia spełnienia (wag) przesłanek każdej reguły
Krok 2: Wyznaczenie wyjścia ostrego każdej reguły
Krok 3: Wyznaczenie wyjścia ostrego ze zbioru reguł

Wnioskowanie S-T oparte na zbiorze reguł

Zadanie: Wyznaczyć wyjście aproksymatora S-T danego w postaci zbioru czterech następujących reguł:

$\begin{array}{c} R^{(1)}:if\; (e\:\:is\:\:N_e)\;\cap\; (\Delta e\:\:is\:\:N_{\Delta e})\; then\; (\Delta v=0,5e-0,5\Delta e+0,5)\; \\ R^{(2)}:if\; (e\:\:is\:\:N_e)\;\cap\; (\Delta e\:\:is\:\:P_{\Delta e})\; then\; (\Delta v=0,5e+0,5\Delta e+0,1)\;\\ R^{(3)}:if\; (e\:\:is\:\:P_e)\;\cap\; (\Delta e\:\:is\:\:N_{\Delta e})\; then\; (\Delta v=1,5e-2,5\Delta e+1,3)\\ R^{(4)}:if\; (e\:\:is\:\:P_e)\;\cap\; (\Delta e\:\:is\:\:P_{\Delta e})\;\; then\; (\Delta v=2,5e-4,0\Delta e-1,0)\; \end{array}$

(163)

dla wejść w chwili czasowej $t_0 : e_0=0,8; \Delta e_0=0,2$ , którym po rozmyciu przyporządkowano wartości funkcji przynależności:

$\mu_N(e_0)=0,7; \mu_{N\Delta e}(\Delta e_0)=0,9; \mu_P(e_0)=0,4; \mu_{P\Delta e}(\Delta e_0)=0,6$ .

Rozwiązanie:

Krok 1. Zgodnie z zasadą ewaluacji przesłanek jak w implikacji Mamdaniego, wyznaczymy stopnie przynależności wszystkich poprzedników reguł według zasady minimum:

$\begin{array}{c} \mu^{(1)}_{\Delta v}(e_0, \Delta e_0)=min(0,7,\;0,9)=0,7\\ \mu^{(2)}_{\Delta v}(e_0, \Delta e_0)=min(0,7,\;0,6)=0,6\\ \mu^{(3)}_{\Delta v}(e_0, \Delta e_0)=min(0,4,\;0,9)=0,4\\ \mu^{(4)}_{\Delta v}(e_0, \Delta e_0)=min(0,4,\;0,6)=0,4\\ \end{array}$	(164)

Krok 2. Ze zbioru reguł (163) wyznaczmy wyjścia ostre $\Delta v_0$ z każdej reguły:

$\begin{array}{c} \Delta v^{(1)}(e_0, \Delta e_0) =0,5\cdot 0,8-0,5\cdot 0,2+0,5=0,8\\ \Delta v^{(1)}(e_0, \Delta e_0) =0,5\cdot 0,8+0,5\cdot 0,2+0,1=0,6\\ \Delta v^{(1)}(e_0, \Delta e_0) =1,5\cdot 0,8-2,5\cdot 0,2+1,3=2,0\\ \Delta v^{(1)}(e_0, \Delta e_0) =2,5\cdot 0,8-4,0\cdot 0,2+1,0=2,2\\ \end{array}$	(165)

Krok 3. Ze wzoru (161) wyznaczmy wyjścia ostre ze zbioru reguł:

$\Delta v^*(e_0,\Delta e_0)=\frac{0,7\times 0,8+0,6\times 0,6+0,4\times 2,0+0,4\times 2,2}{0,7+0,6+0,4+0,4}=1,238$ .

Do istotnych zalet implikacji rozmytej i sposobu wnioskowania zaproponowanego przez Takagi i Sugeno należy zaliczyć przejrzysty sposób wnioskowania i niewątpliwie prostą i szybką w implementacji procedurę wyostrzania. Między innymi z tego powodu regulator Sugeno-Tanga znalazł liczne zastosowania praktyczne zwłaszcza do zadań modelowania (aproksymacji). Z tego powodu wnioskowanie T-S bywa nazywane wnioskowaniem aproksymującym a sam mechanizm wnioskowania nazywany jest aproksymatorem Takagi-Sugeno.