Podręcznik

Rozważmy opis obiektu liniowego za pomocą równań stanu i wyjść

$\begin{eqnarray}\dfrac{dx(t)}{dt} &=& Ax(t)+Bu(t) \qquad(4.1)\\y(t) &=& Cx(t) \qquad(4.2)\end{eqnarray}$

oraz punkt pracy obiektu liniowego $(x_0,u_0) = (0,0)$. Jeżeli obiekt ma tylko jeden sygnał sterujący oraz jedno wyjście, to algorytm regulatora P dla tego obiektu ma postać

$\begin{equation}u(t) = k_p y(t)\end{equation}\qquad(4.3)$\qquad(4.3)

W przypadku, gdy obiekt ma wiele sygnałów sterujących i wiele wyjść, to algorytm regulatora proporcjonalnego dla sterowania $u_i(t),\ i=1,\cdots,m$ może zostać zapisany jako

$\begin{equation}u_i(t) = k_{pi1} y_1(t) +\cdots + k_{pij} y_j(t)\cdots + k_{pip} y_p(t)\end{equation}\qquad(4.4)$

Sterowanie $u_i(t)$ jest sumą składników proporcjonalnych do wartości wyjść ze współczynnikami proporcjonalności $k_{pi1},\cdots, k_{pip}$. Regulator stanu stanowi rozwinięcie powyższego algorytmu, z tym że zamiast wykorzystywać sygnały wyjściowe, wykorzystujemy stany obiektu. Sterowanie $u_i(t)$ jest zatem dane wzorem

$\begin{equation}u_i(t) = k_{i1} x_1(t) +\cdots + k_{ij} x_j(t)\cdots + k_{in} x_n(t)\end{equation}\qquad(4.5)$ 

gdzie $k_{i1},\cdots, k_{in}$ to stałe współczynniki wzmocnienia regulatora stanu. Wypiszmy równania algorytmu regulatora stanu dla wszystkich sterowań $u_1(t),\cdots, u_m(t)$ 

$\begin{eqnarray}u_1(t) &=& k_{11} x_1(t) +\cdots + k_{1j} x_j(t)\cdots + k_{1n} x_n(t)  \qquad(4.6) \\&\vdots&   \\ u_i(t) &=& k_{i1} x_1(t) +\cdots + k_{ij} x_j(t)\cdots + k_{in} x_n(t) \qquad(4.7) \\&\vdots&   \\ u_m(t) &=& k_{m1} x_1(t) +\cdots + k_{mj} x_j(t)\cdots + k_{mn} x_n(t)  \qquad(4.8)   \end{eqnarray}$ 

gdzie $k_{11}$,..., $k_{mn}$ są stałymi współczynnikami. Równania regulatora stanu można zapisać w postaci macierzowej

$\begin{equation}\left(\begin{array}{c}u_1(t) \\ \vdots\\ u_i(t) \\ \vdots\\ u_m(t)\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccccc}k_{11} & \cdots & k_{1j} & \cdots & k_{1n} \\\vdots & & \vdots & & \vdots \\k_{i1} & \cdots & k_{ij} & \cdots & k_{in} \\\vdots & & \vdots & & \vdots \\k_{m1} & \cdots & k_{mj} & \cdots & k_{mn} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_1(t)\\ \vdots\\ x_j(t) \\ \vdots\\ x_n(t)\end{array}\right) \end{equation}\qquad(4.9)$

Standardowo stosuje się następujące oznaczenie macierzy wzmocnień regulatora

$\begin{equation}K = \left(\begin{array}{ccccc}k_{11} & \cdots & k_{1j} & \cdots & k_{1n} \\\vdots & & \vdots & & \vdots \\k_{i1} & \cdots & k_{ij} & \cdots & k_{in} \\\vdots & & \vdots & & \vdots \\k_{m1} & \cdots & k_{mj} & \cdots & k_{mn} \end{array}\right)\end{equation}\qquad(4.10)$ 

Równanie regulatora stanu można wtedy zapisać w postaci wektorowej

$\begin{equation}u(t) = Kx(t)\end{equation}\qquad(4.11)$

Wprowadźmy równanie regulatora stanu do równań stanu obiektu liniowego

$\begin{equation}\dfrac{dx(t)}{dt} = Ax(t)+Bu(t) =  Ax(t)+BKx(t) = (A+BK)x(t) \end{equation}\qquad(4.12)$

Wprowadźmy oznaczenie

$\begin{equation}A_K = A+BK\end{equation}\qquad(4.13)$

Równanie stanu układu regulacji ma postać

$\begin{equation}\dfrac{dx(t)}{dt} = A_K x(t) \end{equation}\qquad(4.14)$

Układ regulacji z regulatorem stanu jest zatem układem autonomicznym. Stabilność układu regulacji z regulatorem stanu zależy od własności macierzy $A_K = A+BK$ i jej wielomianu charakterystycznego. Ponieważ możemy dobrać wartości wzmocnień regulatora stanu w macierzy $K$, możemy zatem wpływać na postać macierzy $A_K$. Okazuje się, że pod pewnymi warunkami, możemy w znacznym stopniu zmieniać własności układu regulacji, poprzez odpowiedni dobór macierzy $K$. Zagadnienie to zostanie teraz szczegółowo omówione. 

Istotną rolę dla układu regulacji z regulatorem stanu odgrywa warunek  sterowalności obiektu, definiowany w następujący sposób

Jeżeli obiekt jest sterowalny, to za pomocą odpowiedniego sterowania $u(t)$ możemy go przeprowadzić z dowolnego stanu do dowolnego innego stanu w dowolnym czasie. Istnieją odpowiednie kryteria do badania sterowalności układu, które można znaleźć w literaturze specjalistycznej. W naszych przykładach nie będziemy szczegółowo analizować kwestii sterowalności obiektu, jednak w tym miejscu konieczne było podanie odpowiedniej definicji. Wróćmy jednak do problemu regulatora stanu. Wielomian charakterystyczny dla układu regulacji z regulatorem stanu ma postać

$\begin{equation}W_K(s) = det(sI-A_K) = det(sI-A-BK)\end{equation}\qquad(4.16)$ 

Okazuje się, że jeżeli tylko obiekt liniowy jest sterowalny, to można tak dobrać macierz $K$, żeby wielomian charakterystyczny $w_K(s)$ miał z góry zadane pierwiastki $s_1,\cdots,s_j,\cdots,s_n$. Pierwiastki wielomianu charakterystycznego $w_K(s)$  mają kluczowe znaczenie dla stabilności układu regulacji, a także wpływają  na innego jego własności. %Poprzez odpowiedni dobór macierzy $K$ możemy zatem w znacznym stopniu wpływać na własności układu regulacji z regulatorem stanu. 

Do omówienia pozostaje kwestia zastosowania regulatora stanu do obiektów nieliniowych. Rozważmy obiekt opisany nieliniowymi równaniami stanu 

$\begin{equation}\dfrac{dx(t)}{dt} = f(x(t),u(t)) \label{eq:ch4:eqStan}\end{equation}\qquad(4.17)$

i punkt pracy określony za pomocą równań 

$\begin{equation}0 = f(x_0,u_0)\qquad(4.18)\end{equation}$

Zlinearyzowane równania stanu mają postać

$\begin{equation}\dfrac{d\tilde{x}(t)}{dt} = \dfrac{\partial f(x_0,u_0)}{\partial x}\tilde{x}(t) + d\frac{\partial f(x_0,u_0)}{\partial u}\tilde{u}(t) \qquad(4.19) \end{equation}$ 

Regulator stanu dla punktu równowagi $(\tilde{x}_0,\tilde{u}_0) = (0,0)$ zlinearyzowanego układu regulacji ma postać

$\begin{equation}\tilde{u}(t) = K\tilde{x}(t)\end{equation}\qquad(4.20)$  

Ponieważ zmienne obiektu zlinearyzowanego przybliżają przyrosty zmiennych obiektu nieliniowego

$\begin{eqnarray}\tilde{u}(t) &\simeq& \Delta u(t) \qquad(4.21)\\\tilde{x}(t) &\simeq& \Delta x(t)\end{eqnarray}\qquad(4.22)$

To algorytm regulatora stanu dla obiektu nieliniowego ma postać

$\begin{equation}\Delta u(t) = K\Delta x(t)\end{equation}\qquad(4.23)$

lub 

$\begin{equation}u(t) = K(x(t)-x_0) + u_0\qquad(4.24)\end{equation}$