Podręcznik: Dopasowanie odbiornika do źródła

3. Moce w obwodach RLC przy wymuszeniu sinusoidalnym

3.8. Dopasowanie odbiornika do źródła

Rzeczywiste źródło energii elektrycznej można przedstawić w postaci szeregowego połączenia idealnego źródła napięcia E oraz impedancji wewnętrznej źródła Z_g jak to przedstawiono na rys. 3.4

Rys. 3.4. Model rzeczywistego źródła napięciowego generatora

Rozważmy elementarny obwód złożony z rzeczywistego źródła napięcia oraz impedancji odbiornika Z jak to przedstawiono na rys. 3.5.

Rys. 3.5. Rzeczywiste źródło napięcia obciążone impedancją Z

Przyjmijmy ogólny model impedancji wewnętrznej źródła w postaci (znak plus przy reaktancji oznacza indukcyjność, a znak minus pojemność)

$Z_g=R_g\pm jX_g$

(3.23)

Podobnie założymy, że impedancję odbiornika stanowi połączenie szeregowe rezystancji R oraz reaktancji ±X, to jest

$Z=R\pm jX$

(3.24)

Dopasowanie odbiornika do generatora rozumiemy jako dobór takiej impedancji odbiornika, przy której odbiornik pobierze ze źródła maksymalną moc czynną. Z analizy obwodu przedstawionego na rys. 3.5 wynika, że moc czynna P odbiornika jest określona zależnością

$P=\left|I\right|^2R=\frac{\left|E\right|^2}{\left|Z_g+Z\right|^2}R=\frac{\left|E\right|^2R}{\left(R_g+R\right)^2+\left(\pm X_g\pm X\right)^2}$

(3.25)

Przy ustalonej wartości rezystancji odbiornika wyrażenie powyższe osiąga maksimum dla

$X=-X_g$

(3.26)

Znak minus oznacza, że reaktancja odbiornika powinna mieć charakter odwrotny do reaktancji generatora. Przy indukcyjnym charakterze impedancji źródła, odbiornik powinien mieć charakter pojemnościowy a przy charakterze pojemnościowym generatora odbiornik powinien mieć charakter indukcyjny.
Po uwzględnieniu tej zależności wyrażenie na moc przyjmie uproszczoną postać

$P=\frac{\left|E\right|^2R}{\left(R_g+R\right)^2}$

(3.27)

Wydzielenie maksymalnej mocy czynnej na rezystorze wymaga, aby pochodna funkcji mocy względem rezystancji R równała się zeru, czyli

$\frac{dP(R)}{dR}=0$

(3.28)

czyli

$\frac{\left(R_g+R\right)^2-2R\left(R_g+R\right)}{\left(R_g+R\right)^4}\left|E\right|=0$

(3.29)

Równane powyższe jest spełnione dla wartości rezystancji obciążenia równej rezystancji źródła, czyli

$R=R_g$

(3.30)

Można łatwo sprawdzić, że przy takim warunku druga pochodna funkcji mocy względem rezystancji jest ujemna, co oznacza, że mamy do czynienia z maksimum mocy. Ostatecznie stwierdzamy, że warunkiem dopasowania odbiornika do generatora ze względu na moc czynną jest taki dobór odbiornika, aby jego impedancja była sprzężona do impedancji generatora, to znaczy $Z=Z_g^\ast$ . Łatwo jest pokazać, że przy spełnieniu powyższego warunku na impedancji odbiornika wydzieli się maksymalna moc czynna $P_{max}$ równa

${P\frac{\left|E\right|^2}{4R_g}}_{max}$

(3.32)

Biorąc pod uwagę, że w obwodzie istnieją dwie identyczne rezystancje (odbiornika i generatora), przez które przepływa identyczny prąd moc maksymalna odbiornika stanowi 50% całkowitej mocy wydzielanej przez źródło idealne.